Qué $0 < x < 0$ implican $x =0$?

Question

En el Análisis Real de la clase, un profesor nos dijo 4 reclamaciones: sea x un número real, entonces:

1) $0\leq x \leq 0$ implica $x = 0$

2) $0 \leq x < 0$ implica $x = 0$

3) $0 < x \leq 0$ implica $x = 0$

4) $0 < x < 0$ implica $x = 0$

Por supuesto, reclamación #1 viene del hecho de que los reales son totalmente ordenado por la $\leq$ relación, y cuando se piensa en ello desde la perspectiva de la tricotomía de la propiedad, tiene sentido, porque la reclamación #1 dice: $0 \leq x$, $x \leq 0$, y luego, el único número que satisface las dos proposiciones, se $x = 0$.

Pero yo no estoy seguro de entender la razón detrás de reivindicaciones #2, #3 y #4. Vamos a analizar la reclamación #2:

Comienza diciendo:$0 \leq x$, lo que significa que x es un número mayor que o igual a $0$, pero luego dice $x < 0$, por lo tanto x es menor que cero. Creo que no hay ningún número puede satisfacer ambas proposiciones, ya que estaría en contradicción con la tricotomía de la propiedad, puesto que x es menor que $0$ Y mayor o igual a $0$.

Lo mismo con la reclamación #4, ya que $0 < x < 0$ significa: $x > 0$$x < 0$, y ningún número real de satisfacer a ambas proposiciones al mismo tiempo. Por lo tanto, decir $x = 0$ es lo mismo que decir $x = 1$ o $2$ o $42$ (esto es debido a que el antecedente si siempre falsa).

Me estoy perdiendo algo? Mi profesor nos dijo que estos eran los axiomas, pero creo que los axiomas no debe contradecir bien establecido propiedades (como la tricotomía de la propiedad) o, al menos, tener algún sentido. Son reivindicaciones #2 a #4 aceptada y utilizada "axiomas" de análisis real?

Answer 1

Una proposición falsa implica cualquier otra proposición, así que, dado que la asunción de la izquierda de 2),3) o 4), que son cada uno falso para cualquier real $x,$ uno podría poner cualquier declaración después de que el "implica" en estos y en la declaración general se mantenga.

He aquí un ejemplo de que la prueba podría usarse, por ejemplo, afirman d) durante la prueba. El objetivo general de la prueba sería para mostrar bajo ciertas hipótesis que $x=0.$ Supongamos que de alguna manera la prueba se dividió en el caso a y caso B, y que en el tratamiento de Un caso uno podría mostrar cada una de las $x \le 0$ $0 \le x.$ Aquí el uso de una), es decir, $0 \le x \le 0$ implica $x=0,$ sería suficiente y acabado de Un caso en un matemáticamente modo de sonido. Por otro lado supongamos que en el caso B se podría mostrar cada una de las $x<0$ $0<x,$ llegando así al lado izquierdo $0<x<0$ de la demanda d). A pesar de que es lógicamente correcto concluir aquí que de nuevo $x=0,$ desde $0<x<0$ es falso, en mi opinión, una mejor matemático de la escritura de caso B sería, una vez llegados a las dos declaraciones de $x<0$ $0<x,$ sólo para decir algo como "tanto el caso B no puede surgir después de todo" o "para el caso B es contradictorio".

Yo no he visto una prueba por un buen matemático expositor que utiliza nada de reclamos b), c) o d) durante el argumento, tal como se indica en el anterior compuesto de prueba escenario de tales pruebas acaba de decir cosas tales como "este caso no se plantea" en el momento apropiado.

Answer 2

Por favor tengan paciencia conmigo como un laico... pero voy a tratar de explicar por qué estaba perplejo (y tal vez también la razón por la que el OP se quedó perplejo).

Las otras respuestas son correctas si asumimos que el lenguaje natural término "implica" que el maestro utiliza como citado por el OP significa que la operación lógica de implicación, o $\implies$.

Que es probablemente lo que el maestro, lengua en la mejilla, de hecho, significó. Lo que, en primer lugar, se entiende, aunque fue que la primera declaración define un conjunto, y la segunda afirmación es que el conjunto de:

Deje $\mathbb{M} = \{x | x \in \mathbb{R}, 0 \lt x \lt 0\}$; a continuación,$\mathbb{M} = \{0\}$.

Quizás la adecuada notación sería

$\{x | x \in \mathbb{R}, 0 \lt x \lt 0\} = \{0\}$.

Eso es trivialmente mal, de ahí la confusión.

Lo que el profesor quería decir era, probablemente, que los siguientes enunciados son verdaderos ($0\lt x \lt 0$ es siempre falso, simplemente podemos sustituto $\bot$):

$\bot \implies x = 0$, o
$\bot \implies x \ne 0$, o
$\bot \implies y=42$,
o cualquier otra cosa.

(No estoy seguro de si se puede utilizar $\bot$ de que manera; puedo estar demasiado influenciado por la programación.)

Answer 3

$A\implies B$ ($B$ o (no $A$)).

Deje $A:0<x<0$$B:x=0$.

$A$ es falso, por lo tanto, $not(A)$ es cierto. Por lo tanto $A\implies B$ es cierto.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth .

Answer 4

Te dio la respuesta correcta cuando se menciona que "el antecedente si siempre falso". Necesita volver a el hecho de que, en la lógica, $p \rightarrow q$ es verdadera si y sólo si $q$ es verdadera o la negación de la $p$ es cierto. En (2), (3) y (4), $p$ es falso y, por tanto, $p \rightarrow q$ es cierto.

Answer 5

Primero de todo, no estoy de acuerdo que estos son los axiomas. Lo que los axiomas de la teoría de conjuntos, números reales, los números enteros, etc. se puede tener discrepancias de libro de texto libro de texto, de persona a persona, etc., pero los axiomas deben no ser tomado para significar "una lista de evidente propiedades y no se puede ser molestado en comprobar."

Una manera constructiva a empujar contra su profesor sería pedirle a él/ella para ver la lista completa de los axiomas que están utilizando. La lista debe ser, además, completa. No debería expansión. Se podría incluir estos y omitir algunas otras propiedades yo personalmente creo que como axiomas.

Siguiente, la primera es verdadera, y que debe tener sentido por sí mismo.

Los próximos tres son vacuously verdadero. Todos ellos se reducen a "si <alguna declaración falsa> entonces <instrucción>", que es siempre verdadera. Esto se llama ser vacuously verdadero. $0 < x < 0$ es falso para cualquier $x$, de modo que "si $x$ es un número real tal que $0 < x < 0, \text{ then }1 = 2$" es una declaración verdadera.

Vacuously enunciados verdaderos son considerados lógicamente válida , pero no lógicamente sonido.

Usted puede pensar de esta manera: si usted pregunta "para todos los $x$ si $0 < x < 0$, $x = 1$ $x = 7$ al mismo tiempo." Esto es cierto - que sin duda no se puede encontrar ningún $x$ satisfacción $0 < x < 0$, por lo que no hay contraejemplos!