¿Ha demostrado el profesor Otelbaev la existencia de soluciones fuertes para las ecuaciones de Navier-Stokes?

Question

Aviso del moderador : Cierro unilateralmente esta pregunta por tres razones.

1. La discusión aquí se ha vuelto demasiado charlatana y no es adecuada para el marco de la ESM.
2. Teniendo en cuenta la reciente preimpresión de T. Tao (ver también el blog-post aquí ), la utilidad continuada de esta pregunta disminuye.
3. La última actualización de esta respuesta es probablemente lo más parecido a una "respuesta" que podemos esperar.

El eminente matemático kazajo Mukhtarbay Otelbaev, Prof. Dr. ha publicado una prueba completa del Problema del Milenio de Navier-Stokes de arcilla.

¿Es correcto?

Ver http://bnews.kz/en/news/post/180213/

Un enlace al documento (en ruso): http://www.math.kz/images/journal/2013-4/Otelbaev_N-S_21_12_2013.pdf

Mukhtarbay Otelbaev ha publicado más de 200 artículos, ha tenido más de 70 estudiantes de doctorado y es miembro de la Academia de Ciencias de Kazajistán. Ha publicado artículos sobre Navier-Stokes y análisis funcional.

por favor, limite las respuestas a cualquier error matemático real encontrado. gracias

Answer 1

Esta página web tiene el Teorema 6.1. Está escrito en español, pero en realidad es bastante fácil de seguir incluso si (como yo) no sabes nada de español. Sin embargo, no se aclara en esta página web que el enunciado del Teorema 6.1 es " Si $\|A^\theta \overset 0u\| \le C_\theta\|$ , entonces $\| \overset0u \| \le C_1(1+\|\overset0f\|+\|\overset0f\|^l)$ ."

http://francis.naukas.com/2014/01/18/la-demostracion-de-otelbaev-del-problema-del-milenio-de-navier-stokes/

Este es el contraejemplo propuesto al Teorema 6.1 dado en http://dxdy.ru/topic80156-60.html . Utilicé la traducción de Google, y luego lo limpié. También he añadido detalles aquí y allá.

Dejemos que $\hat H = \ell_2$ .

Que el operador $A$ se define por $ Ae_i = e_i $ para $ i < 50$ , $ Ae_i = ie_i $ para $ i \ge $ 50

Definir el operador bilineal $ L $ sea distinto de cero sólo en subespacios bidimensionales $ L (e_ {2n}, e_ {2n +1}) = \frac1n (e_ {2n} + e_ {2n +1}) $ con $ n \ge 25 $ .

Comprueba las condiciones:

U3. Incluso con un margen de 50 .

U2. $ (e_i, L (e_i, e_i)) = 0 $ para $ i \ge $ 50. Esto también es cierto para los vectores propios $ u $ con $ \lambda = 1 $ porque para ellos $ L (u, u) = 0 $ .

U4. $ L (e, u) = 0 $ para los vectores propios $ e $ con $ \lambda = 1 $ también es trivial. (Nota de Stephen: también tiene que comprobar $L_e^*u = L_u^*e = 0$ pero a mí me parece correcto).

U1. $ (Ax, x) \ge (x, x) $ . También $$ \| L (u, v) \| ^ 2 = \sum_{n \ge 25} u ^ 2_ {2n} v ^ 2_ {2n +1} / n ^ 2 \le C\|(u_n/\sqrt n)\|_4^2 \|(v_n/\sqrt n)\|_4^2 \le C\|(u_n/\sqrt n)\|_2^2 \|(v_n/\sqrt n)\|_2^2 = C \left (\sum u ^ 2_ {n} / n \right) \left (\sum v ^ 2_ {n} / n \right) $$ para que podamos tomar $\beta = -1/2$ .

Y ahora considera los elementos $ u_n =-n (e_ {2n} + e_ {2n +1}) $ . Es evidente que sus normas están aumentando. Dejemos que $ \theta = -1 $ . Entonces el $A^\theta $ -normas de todos estos elementos son constantes. Pero, $ f_n = u_n + L (u_n, u_n) = 0 $ .

Actualización: Más adelante en http://dxdy.ru/topic80156-90.html hay una respuesta de Otelbaev en la que afirma que puede arreglar el contraejemplo añadiendo otra hipótesis al Teorema 6.1, a saber, la existencia de operadores $P_N$ que convergen fuertemente a la identidad, de manera que se tienen buenas propiedades de solvencia para $u + P_N L(P_N u,P_N u) = f$ en el sentido de que si $\| f \|$ es lo suficientemente pequeño, entonces $\| u \|$ también es pequeño.

Terry Tao me comunicó que cree que una pequeña modificación del contraejemplo también derrota esta hipótesis adicional.

Actualización 2: Terry Tao modificó su ejemplo para corregir el hecho de que el enunciado del Teorema 6.1 es que un límite de $u \equiv \overset0u$ implica un límite inferior en $f \equiv \overset0f$ y no al revés (es decir, tuvimos un error de traducción para el Teorema 6.1 que señalo arriba).

Dejemos que $\hat H$ sea $N$ -espacio euclidiano, con $N \ge 50$ . Sea $\theta = -1$ y $\beta = -1/100$ . Tome $$ A e_n = \begin{cases} e_n & \text{for $n<50$} \\ 50\ 2^{n-50} e_n & \text{for $50 \le n \le N$.}\end{cases}$$ y $$L(e_n, e_n) = - 2^{-(n-1)/2} e_{n+1} \quad\text{for $ 50 \le n < N $,}$$ y todos los demás $L(e_i,e_j)$ cero.

Los axiomas (Y.2) y (Y.4) se verifican fácilmente. Para (Y.1), observe que si $u = \sum_n c_n e_n$ y $v = \sum_n d_n e_n$ entonces para una constante universal $C$ tenemos $$ \| L(u,v) \|^2 \le C \sum_n 2^{-n} c_n^2 d_n^2, \\ |c_n| \le C 2^{n/100} \| A^\beta u \| ,\\ |d_n| \le C 2^{n/100} \| A^\beta v \| ,$$ y la afirmación (Y.1) se deduce de la suma de series geométricas.

Por último, establece $$ u = \sum_{n=50}^N 2^{n/2} e_n $$ entonces se calcula que $$ \| A^\theta u \| < C $$ para una constante absoluta C, y $$ u + L(u,u) = 2^{50/2} e_{50} $$ así que $$ \| u + L(u,u) \| \le C $$ pero que $$ \| u \| \ge 2^{N/2}. $$ Desde $N$ es arbitraria, esto da un contraejemplo al Teorema 6.1.

Al escribir la ecuación $u+L(u,u)=f$ en coordenadas obtenemos $f_n = u_n$ para $n \le 50$ y $f_n = u_n + 2^{-n/2} u_{n-1}^2$ si $50<n\le N$ . Por lo tanto, vemos vemos que $u$ es se determina de forma única por $f$ . A partir del teorema de la función inversa vemos que si $\| f \|$ es lo suficientemente pequeño, entonces $\| u \| < 1/2$ , por lo que el axioma adicional que da Otelbaev para tratar de fijar el Teorema 6.1 es también se cumple (estableciendo $P_N$ para ser la identidad).

Actualización 3: El 14 de febrero de 2014, el profesor Otelbaev me envió este mensaje, que publico con su permiso:

Estimada profesora Montgomery-Smith,

Para mi vergüenza, en la página 56 la desigualdad (6.34) es incorrecta, por lo que la proposición 6.3 (p. 54) no está demostrada. Lo siento mucho.

Gracias por la buena voluntad.

Defectos que espero corregir en la versión inglesa del artículo.

Answer 2

He empezado a traducir el documento para que los angloparlantes puedan explorarlo. Sólo he tenido tiempo para el resumen, la introducción y la declaración del resultado principal, pero eso ya da una parte importante del panorama. Cualquier otra contribución será bienvenida. https://github.com/myw/navier_stokes_translate

Answer 3

Vale, he pasado una tarde recibiendo ayuda con el ruso, y creo que entiendo mucho más.

Así que primero demuestra un teorema bastante abstracto (Teorema 2), y las soluciones fuertes de Navier-Stokes son simplemente un corolario. Demuestra la existencia de soluciones que satisfacen ciertos límites para $$ \dot u + Au + B(u,u) = f , \quad u(0) = 0,$$ donde $A$ y $B$ satisfacen las hipótesis más bien suaves de que, por ejemplo, las sustituciones $A = E-\Delta$ y $B(u,v) = e^t u \cdot \nabla v + \nabla p$ donde $p$ es un escalar elegido de forma que $B(u,v)$ está libre de divergencias.

(Siempre pensé que la prueba o contraejemplo utilizaría la estructura especial de $B(u,v)$ que viene con la ecuación de Navier-Stokes).

En el capítulo 5, expone cómo lo convertirá en un problema abstracto diferente, explicando que es suficiente encontrar un límite en $\overset{0}{v} = \dot u + Au$ . Construye una ecuación para una cantidad $v(\xi) \equiv v(\xi,t,x)$ por lo que, en efecto, se trata de un campo de velocidad dependiente del tiempo descrito por un parámetro $\xi$ . Crea una ecuación diferencial en $\xi$ que se transforma en $v(0) = \overset 0v$ en $v(\xi_1)$ , donde $\|v(\xi)\| = \|\overset0v\|$ pero $v(\xi_1)$ es más fácil de trabajar. Esta ecuación viene dada por las ecuaciones (5.2) y (5.3).

Hasta ahora, la única parte de la ecuación (5.3) que estoy empezando a entender es la $-\alpha(\xi) R(v(\xi))$ parte. $R(v)$ mide hasta qué punto $v$ es de ser un vector propio de $A^\theta$ . Y así la ecuación diferencial $$ \frac{dv}{d\xi} = -\alpha(\xi) R(v(\xi)) $$ empuja $v$ para acercarse a convertirse en un vector propio.

De todos modos, parece que el capítulo 6 es el meollo del asunto. El teorema 6.1 parece ser el resultado principal. Sin embargo, tiene una condición bastante impar, a saber, que la dimensión del eigespacio correspondiente al menor valor propio de $A$ debería ser de al menos 20. Así que me interesará ver cómo convierte el Navier-Stokes en una ecuación con esta propiedad.

Answer 4

Una traducción completa del teorema principal (Teorema 6.1) y de las condiciones (Y.1)-(Y.4), debida a Sergei Chernyshenko, puede encontrarse en

http://go.warwick.ac.uk/jcrobinson/lf/otelbaev

También hay una breve discusión sobre el método de prueba utilizado por Otelbaev.

[Las respuestas que siguen son a una versión anterior de este post en la que creía haber encontrado un error en el argumento de Galerkin utilizado en la parte final de la prueba del Teorema 6.1].

Answer 5

¿qué opina de la definición 2? Define una solución fuerte para que todos los términos de NSE vivan en $L^2$ . La regularidad global de NSE exige que los campos de presión y velocidad en $C^\infty$ . ¿Soy yo o estamos hablando de una noción muy, muy, muy débil de solución fuerte, que no tiene nada que ver con el problema del milenio?