Contorno rectangular uso integrar $\sin(ax)/(\exp(2\pi x)-1)$

Question

He sido auto-estudio de CA y parece muy interesante. Por lo tanto, trabajando a través de problemas en un libro que tengo, me encontré con

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{4}\coth(a/2)-\frac{1}{2a}$$

y $$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{e^{x}+1}dx=\frac{1}{2a}-\frac{\pi}{2\sinh(\pi a)}$$

Para los primeros, la escribí como $\frac{e^{aiz}}{e^{2\pi z}-1}$ y se utiliza un contorno rectangular con los vértices $0, \;\ R. \;\ R+i, \;\ i$

$e^{2\pi z}-1$ tiene polos en $ni$. De estas, creo $i$ sólo se encuentra dentro del contorno.

A menos que yo estoy en error, que luego se calcula el residuo de a $i$ $\frac{e^{-a}}{2\pi}$

Por eso, $2\pi i(\frac{e^{-a}}{2\pi})=ie^{-a}$

Ahora, donde puedo conseguir colgó el teléfono es la creación de las integrales en todo el contorno. Dos de los cuales debe tender a 0 $R\to \infty$.

Aquí es lo que he hecho.

$$\int_{0}^{R}\frac{e^{iax}}{e^{2\pi x}-1}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{ai(R+iy)}}{e^{2\pi (R+iy)}-1}idy+\int_{R}^{0}\frac{e^{ai(x+i)}}{e^{2\pi (x+i)}-1}dx+\int_{\infty}^{0}\frac{e^{ai(iy)}}{e^{2\pi iy}-1}dy=-\sinh(a)$$

Estoy seguro de que los límites en el segundo y cuarto integrales.

Yo no estoy tan seguro de que esto es correcto. La segunda y la cuarta, que representan los lados verticales, debe tender a 0 $R\to\infty$. Espero :).

Esto que me dio $(1-e^{-a})\int\frac{e^{iax}}{e^{2\pi x}-1}dx=-\sinh(a)$.

Lo cual no es correcto. Me las arreglé para resolver esta utilizando la serie y $\pi csc(\pi z)$, pero el contorno estoy seguro de.

Puede alguien echar una mano aquí?. Cualquier consejo sobre cualquiera de ellos sería apreciada.

Por el otro, sólo he publicado porque se ve similar, pero creo que la realidad es más compleja y 'más difícil' si se quiere. Si puedo conseguir uno, tal vez me puede administrar para evaluar a los otros.

Con eso, creo que el mismo rectángulo con la misma vértices pueden ser utilizados, pero $\pi i$ tendría que ser evitado. Tal vez un Valor Principal en alguna parte. Pero, me dijeron que el uso de los vértices $0, \;\ R, \;\ R+2\pi i, \;\ 2\pi i$

Ya que soy relativamente nuevo en CA, la configuración de los integrales es la parte confusa.

Me puede hacer más fácil los tipos de las integrales de contorno, pero desea aprender más acerca de estos más desafiantes.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Encontré $$\int_{C}\frac{e^{iaz}}{e^{2\pi z}-1}dz$$ en "Aplicar Análisis Complejo con inhibidores de la PDE" por Nakhle Asmar.

Si alguien está interesado, él utiliza un contorno con un segmento de línea y cuarto de círculo con $I_{1}, ...., I_{6}$

$\int_{C}\frac{e^{iaz}}{e^{2\pi z}-1}dz=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}+I_{5}+I_{6}$

comenzando con un segmento de la línea de $[\epsilon,R]$ y moviéndose hacia la izquierda. Como $\epsilon\to 0^{+}$ y $R\to \infty$, $I_{1}\to I$.

es decir,$I_{2}, \;\ z=R+iy$, donde y varía de 0 a 1.

$I_{3}, \;\ z=x+i$, donde x varía de $R$ $\epsilon$

$I_{4}$ se realiza en el cuarto de círculo de $(\epsilon,\epsilon+i)$ $0,i-i\epsilon)$

$I_{5}, \;\ z=iy$ donde y varía de $i-\epsilon$ $\epsilon$

$I_{6}$ se realiza en el cuarto de círculo de $(0,i\epsilon)$ $(\epsilon,0)$

Por ejemplo, $I_{6}$ da $$\lim_{\epsilon\to 0}\int\frac{e^{iaz}}{e^{2\pi z}-1}dz=\frac{-\pi}{2}\text{Res}\left(\frac{e^{iaz}}{e^{2\pi z}-1},0\right)$$

$$=\frac{-\pi i}{2}\cdot \frac{e^{iaz}}{2\pi e^{2\pi (i)}}=-i\cdot \frac{e^{-a}}{4}$$

Es bastante extenso y en última instancia resulta en $\frac{-1}{2a}+\frac{1}{4}\frac{e^{a}+1}{e^{a}-1}=\frac{-1}{2a}+\frac{1}{4}\coth(\frac{a}{2})$