Últimamente estaba navegando a través de mi análisis de notas de la conferencia (ya que ahora estoy un poco oxidado en el análisis) y la prueba de que $x \mapsto \frac{1}{x}$ es diferenciable en todos los $x'\neq 0$ capturó mi atención. El fácil la prueba se basa en los siguientes manipulación algebraica $$\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\frac{1}{h}\frac{-h}{x^{2}+xh}=\frac{-1}{x^{2}+xh}.$$ Letting $h$ tienden a cero, obtenemos el límite que hemos tratado.
Lo que despertó mi interés fue la idea de que podemos (de forma continua) extender a (continua) de la función a un mayor dominio de simples manipulaciones algebraicas (ya que en esencia, esto es lo que hacemos, a la hora de calcular una derivada -- continuamente la ampliación de una función): El segundo de la igualdad de arriba es la clave: dividiendo por $h$ los cambios en el dominio de $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ $\mathbb{R}$(si tenemos en cuenta las funciones $h\mapsto \frac{1}{h}\frac{-h}{x^{2}+xh}$$h\mapsto \frac{-1}{x^{2}+xh}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$).
Preguntas:
1. Hay algunos teoría general de "transformaciones algebraicas" que permiten la extensión de las funciones (incluso si se extiende a las funciones sólo para un único punto, como en el caso de calcular derivados) ?
(No sé qué geometría algebraica ocupa, sino a la educación del oído suena como esto iba a ser)
2. ¿Qué otros tipos de puramente algebraica trucos, como el de arriba, ¿sabe usted, que le permiten a usted (en el contexto de la búsqueda de derivados) continuamente para ampliar las funciones de $h\mapsto \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ?
[A partir de los ejemplos de mis notas (y 2 libros que he navegado a través de) la única trucos parece ser:
$ \quad$- Manipular el numerador el tiempo suficiente, hasta que pueda factor de una $h$, de modo que usted puede escribir $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h}{h}\cdot s_x(h)$ para algunos la función $s_x$, dado que las funciones $h\mapsto \frac{h}{h}$ es la prevención de que continuamente se extiende $h\mapsto \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ $\mathbb{R}$(y la función de $h\mapsto \frac{h}{h}$ es trivial continuamente se extienden a $\mathbb{R}$).
$ \quad$ Escritura $f$ como el producto de la $f=p_1 \cdot p_2$ y, a continuación, la adición y la resta de nuevo $p_1(x)\cdot p_2 (x+h)$ como en la prueba de que $(p_1 \cdot p_2)'=p_1' p_2 + p_1 p_2'$.
(La estimación de $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ etc. - cualquier cosa que no implique puro transformaciones algebraicas para extenderla - no me interesa. También, muy simples manipulaciones algebraicas, como la reordenación de los términos como en la prueba de que $(\frac{1}{f})'=\frac{-f}{f^2}$, no cuentan.]
