Es el centro, $Z(G)$ de un grupo $G$ lo mismo que el centralizador, $C(g)$ de un elemento $g\in G$ ? He demostrado que $C(g)\leq G\forall g\in G$ pero mi tarea, en un problema posterior, me pide que demuestre que $Z(G)\leq G$ . Esto me confunde, porque pensé que $C(g)$ es lo mismo que $Z(G)$ .
Observe las diferencias aquí. $Z(G)= \{ h \in G |hxh^{-1}=x , \space \forall x \in G \} $ . Pero $C(g)= \{h \in G | hgh^{-1}=g\}$ .
La diferencia es que el centralizador son los elementos de G que conmutan con cada elemento de G. El centralizador de un elemento es el conjunto de elementos que conmutan con ese elemento.
Así que $Z(G)$ está contenida en $C(g)$ para cualquier $g$ porque si un elemento conmuta con todo, ciertamente conmuta sólo con $g$ .
¿Así que el centralizador es como un montón de centros? Además, ¿cómo podría [empezar a] demostrar que $Z(G)\leq G$ ? No veo cómo puedo hacer que mi prueba difiera de mi prueba de que $C(g)\leq G\forall g\in G$ .
Las pruebas deben diferir un poco porque no son los mismos subconjuntos de $G$ ¡! $C(g)$ es todo lo que se desplaza con un $g$ pero $Z(G)$ es todo lo que viaja con todo elementos $g\in G$ .
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