Pruebas de matemáticas discretas que involucran números reales

Question

Estoy atrapado en estos dos problemas.

$1$. Demostrar que para cada tres números reales positivos a, b y c que

$(a+b+c)*(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9$.

$2$. Demostrar que para cada tres números reales positivos a, b y c que $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac$.

He intentado prueba directa y no han conseguido importante en cualquier lugar. No pongo el trabajo allí ya que es demasiado larga y no creo que le ayudará. Debe haber algún tipo de truco de involucrados, sino para la vida de mí, yo no puedo entender.

Answer 1

Sugerencias:

1) sin pérdida de generalidad, $a\le b\le c$. Entonces $(a+b+c)\cdot (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})= 3 + \frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$. ¿Cuál de estas razones es por lo menos $1$?

2) juega con $(\pm a \pm b \pm c)^2\ge 0$.

Answer 2

(2), utilice el hecho de %#% $ #%

(1), utilice la sugerencia de Ittay Weiss y el hecho eso si $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0.$ es positivo, entonces $x$. Esto sigue del hecho de %#% $ #%

Answer 3

Para el $(1)$ $$a+b+c\ge 3(abc)^{\frac13}$$ and $% $$\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge3 \frac1{(abc)^{\frac13}}$

Answer 4

SUGERENCIA:

$(1)$:Use $\frac{(a+b+c)}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

$(2)$: Multiplicar por $2$: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -2ab -2bc - 2ac\geq 0$