Hopf ' teorema s sobre superficies CMC

Question

Tengo metida la lectura de la prueba del siguiente teorema:

Teorema (Heinz Hopf) Deje $X: S^2\to \mathbb R^3$ ser un medio constante de la curvatura de la inmersión. A continuación, $X(S^2)$ es una vuelta de esfera.

Prueba: Supongamos $g_{S^3}$ denotar la ronda métrica en $S^2$ (de tal manera que el área es $4\pi$). Por el teorema de uniformización existe un mapa de $\phi: S^2 \to S^2$ tal que $(X\circ \phi)^\ast g_{\mathbb R^3}$ es de conformación a $g_{S^2}$. Por lo tanto podemos suponer que la $X$ es un mapa de conformación $(S^2, g_{S^2}) \to (\mathbb R^3, g_{\mathbb R^3})$. Deje $\pi: (\mathbb R^2, g_{\mathbb R^2})\to (S^2\setminus \{pt\}, g_{S^2})$ ser la proyección estereográfica. Deje $Y = X\circ \pi$. A continuación, $Y$ es una de conformación de inmersión de$\mathbb R^2$$\mathbb R^3$. Si $\nu = \nu^\alpha e_\alpha$ denota la unidad normal de campo vectorial a lo largo de esta inmersión, a continuación, $\Delta \nu^\alpha + |h|^2 \nu^\alpha = 0$ donde$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2}$, es habitual el Laplaciano y donde $|h|^2$ es la longitud de la segunda forma fundamental de tensor a lo largo de la inmersión.

Edit: Aquí está el resto de la prueba (de la memoria). En particular, esto demuestra que $\Delta \nu$ es paralelo a $\nu$. La identificación de $\mathbb R^2\cong \mathbb C$ y el uso de una escritura compleja ${\partial_z} = \frac 12 \left(\frac{\partial }{\partial u} - i\frac{\partial}{\partial v}\right)$, $\overline{\partial_z} = \frac 12 \left(\frac{\partial }{\partial u} + i\frac{\partial}{\partial v}\right)$, tenemos $\Delta \nu = 4 \partial_z\overline{\partial_z}\nu$. Tenga en cuenta que $\partial_z\nu \perp \nu$, de donde $\partial_z\nu \perp \Delta \nu$. De ello se sigue que $$\overline{\partial_z} (\partial_z\nu)^2 = 2 \partial_z \nu \cdot \partial_z\overline{\partial_z}\nu = \frac 12 \partial_z \nu \cdot \Delta \nu = 0.$$ Esto implica que los valores complejos de la función $z\mapsto (\partial_z\nu)^2$ es holomorphic. Aquí $$(\partial_z \nu )^2 = (\partial_u\nu - i \partial_v \nu)^2 = (|\partial_u\nu|^2 - |\partial_v\nu|^2) - 2i \partial_u \nu \cdot \partial_v\nu.$$

Ahora sigue de la invariancia conforme de la Dirichlet energía $E(u) = \int_M |\nabla u|^2 \, \mathrm{dvol_g}$ que $\int_{\mathbb R^2} |(\partial_z \nu)^2| \, < \infty$. De hecho, la de Dirichlet de la energía de $\nu$ $\mathbb R^2$ (con respecto a la métrica Euclidiana), los límites $\int_{\mathbb R^2} |(\partial_z \nu)^2|$. Ahora $\nu$ puede ser tirado-de vuelta a un campo de vectores en la esfera a través de la proyección estereográfica (que es de conformación), y la de Dirichlet de la energía se puede calcular (con respecto a la ronda métrica). Pero el pull-back de $\nu$ se extiende a un campo vectorial suave en todos los de $S^2$, e $S^2$ es compacto. Por lo tanto, su Dirichlet de la energía debe ser finito.

Se desprende de lo $\int_{\mathbb R^2}|(\partial_z \nu)^2|<\infty$, que el (holomorphic) la función $(\partial_z\nu)^2$ es idéntica $0$. Esto es equivalente a $|\partial_u \nu| = |\partial_v\nu|$$\partial_u \nu \cdot \partial_v \nu = 0$.

Escribir $\partial_u \nu = h^u_u \partial_u Y + h^v_u \partial_v Y$, $\partial_v \nu = h^u_v \partial_u Y + h_v^v\partial_v Y$. Se desprende de la conformality de $Y$ junto con el anterior, que $h^u_v H = h^u_v (h^u_u + h^v_v) = 0$, $|h^u_u| = |h^v_v|$. Esto sólo es posible si $h^u_u = h^v_v = H/2$$h^u_v = 0$.

Pero, a continuación,$\partial_u \nu = H/2 \partial_u Y$$\partial_v \nu = H/2\partial_v Y$, implica que el $Y = c + 2/H \nu$ para algunas constantes de vectores $c$. Esto demuestra que $Y$, y por la continuidad también se $X$, mapa dentro de una esfera. $X$ a, debido a que se abra (siendo una inmersión) y cerrado (se continua, la asignación de un conjunto compacto).

No veo la manera de mostrar que $\Delta \nu^\alpha + |h|^2\nu^\alpha = 0$?

Gracias por su ayuda! Todas las ideas son bienvenidas.

Answer 1

Considere la posibilidad de una deformación suave $\{\phi_t\}_{|t|<\epsilon}$ de la inmersión $X$, es decir, $\phi: S^2\times (-\epsilon, \epsilon)\to \mathbb R^3$ es un buen mapa, con $\phi_t := \phi(\cdot, t):S^2\to \mathbb R^3$, de tal manera que $\phi_t$ es un buen immerison fija $t$$\phi_0 = X$. Para cada una de las $t$, se puede calcular la media de la curvatura de la $H_t$$\phi_t$. Estamos interesados en la $H_t$ varía con $t$.

Supongamos que $\phi_t$ es, de hecho, de la forma simple $\phi_t(x) = \phi_0(x) + t\psi(x) \nu(x)$, por alguna función suave $\psi: S^2 \to \mathbb R^3$. Aquí $\nu:S^2\to \mathbb R^3$ denota la unidad normal a $\phi_0$.

Si uno hace el cálculo, a continuación, uno finalmente se obtiene que (todavía no he comprobado esta en completo detalle, aunque!) $$ \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} H_t = \Delta_g\psi + |h|_g^2 \psi.$$

En nuestro caso particular, estamos interesados en una variación de la forma $\phi_t(x) = x+te_\alpha$. En este caso, la función de $\psi(x)$ está dado por $$\psi =t^{-1} \langle \phi_t- \phi_0, \nu\rangle = \langle e_\alpha, \nu\rangle = \nu^\alpha.$$ Pero $\phi_t$ es sólo una traducción en la dirección $e_\alpha$, por lo que la media de la curvatura claramente no cambia. De ello se desprende que $ \Delta_g\nu^\alpha + |h|_g^2 \nu^\alpha = 0$. Para obtener la demanda en las notas, uno tiene que usar el hecho de que en la dimensión $2$, el Laplaciano obedece a una invariancia conforme.