¿Historia de productos y textos interiores en él?

Question

¿De dónde proviene el producto interior, se definió en términos del dual o se definió a partir de sólo dos copias del espacio?

Es decir,$(*,*) : V \times V \rightarrow scalar $ o$(*,*) : V \times V^{*} \rightarrow scalar $

y donde se pueden encontrar textos sobre esto?

Answer 1

J. Dieudonné, Un Historial de Análisis Funcional, es una buena referencia.

Producto interior tuvo su génesis en las nociones de ortogonal ampliaciones de funciones, tales como la Serie de Fourier. Con frecuencia la gente esta al revés.

Ortogonalidad de las funciones se observa en primer lugar en relación con la clásica Serie de Fourier, bien antes de Fourier miró. Ellos estaban tratando de resolver la ecuación de onda de las vibraciones de una cuerda da un desplazamiento inicial, y que habían encontrado mucho antes de que el $\sin$ $\cos$ funciones estaban bien adaptados. Fue Clairaut y Euler, quien descubrió la integral de la ortogonalidad de las condiciones que les permitió determinar lo que los coeficientes de la serie de Fourier de la expansión de los datos iniciales. Pero nadie en ese momento sugirió que cada función puede ser ampliado, por lo que vi en las condiciones de coherencia de las relaciones en los datos iniciales en su lugar. Estos acontecimientos tuvieron lugar aproximadamente en la época de 1760-1800.

Era de Fourier, quien declaró que "arbitraria" de las funciones podría ser ampliado en un trigonométrica de la serie en $[-\pi,\pi]$, y que la idea fue acogida con gran oposición que su posterior tratado de la Conducción de Calor se prohibió a partir de la publicación de 20 años hasta que pudo ganar el poder y la fuerza para ser publicado. En ese trabajo, la transformada de Fourier se veía en otros tipos de expansiones ortogonales saliendo de su "separación de variables" de la técnica. Esta fue una nueva dirección, y es la razón por la transformada de Fourier del nombre del sujeto que, a pesar de no descubrir relaciones de ortogonalidad. La transformada de Fourier del tratado fue escrito alrededor de 1805. y finalmente publicadas ~1827.

Cauchy demostró lo que es ahora conocido como el de Cauchy-Schwarz desigualdad para el espacio Euclidiano alrededor de 1825. Curiosamente, el producto escalar Euclídeo no estar conectado en cualquier forma seria con ortogonal función de las expansiones hasta décadas más tarde. La desigualdad de Cauchy generalizado de las sumas integrales alrededor de 1859, pero nadie se dio cuenta; sólo era una novedad. (Por cierto, que estaba justo sobre el tiempo de Riemann se acercó con su integral, con la intención de estudiar la convergencia de la serie de Fourier. Hasta entonces, no había riguroso integral!) En las décadas que siguieron, los investigadores comenzaron a buscar en el Cálculo de las variaciones de los problemas y sus soluciones. Y no era un documento histórico de Schwarz donde demostró la de Cauchy-Schwarz desigualdad para las integrales, y se utiliza para definir una integral distancia (norma en lenguaje actual) que satisfaga la desigualdad de triángulo y podría ser utilizado para la aproximación de soluciones de la superficie mínima (creo.) Esto fue en la década de 1880, que fue todo el tiempo de un número real fue rigurosamente definido por primera vez.

Ahora hubo una explosión de rigor, y todo empezó a centrarse en las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales, incluyendo la de Fourier, y la convergencia de las expansiones ortogonales. Lebesgue, también con la intención de estudiar la convergencia de la transformada de Fourier de las expansiones, inventó su integral. Fredholm estaba mirando las ecuaciones integrales como una manera de resolver ecuaciones diferenciales, y en él se define la noción moderna de un operador. Compacidad fue evolucionando, y la compacidad de los criterios para la función de los espacios estaba siendo utilizado por Fredholm. Luego, en la edad de oro de rigor, Hilbert en la primera década del siglo xx establecidos axiomas para $\ell^{2}$. Aunque incierto, parece ser que la definición de un producto interior era un espacio de Hilbert, al menos de acuerdo a Dieudonné.

Así, el producto interior vinieron después y en respuesta a las nociones generales de la ortogonales eigenfunction expansiones en infinitas dimensiones de los espacios. No hay un gráfico en Dieudonne del libro que muestra cómo el más abstracto que vino primero, y finalmente se filtra hacia abajo a la Matriz de Análisis. Y quedó muy claro que el interior era producto de una forma en un único espacio. La noción de la dualidad vino décadas más tarde, sólo una vez que las personas encontraron que estaban obligados a separar el dual del espacio. En la década de 1920, el estándar de textos sobre el tema, aún no se separan el espacio de su doble.