cuadrados que no son la suma de un cuadrado y dos veces un número triangular

Question

Estoy tratando de determinar las condiciones en entero plazas que no puede ser escrito como un cuadrado y dos veces triangular [todos los números positivos], es decir, enteros $n \ge 1$ donde no existen enteros $a,b \ge 1$ tal que

$$ n^2 = a^2 + b^2+b.$$

Por ejemplo, $$9 = 1^2 + 8 = 2^2 + 5,$$ so it is such a number; however, $16=2^2 + (2 \cdot 6)$, por lo que no es.

Este papel http://math.nju.edu.cn/~zwsun/111o.pdf reclamos de una prueba acerca de los números, que no puede ser escrito como la suma de un cuadrado y dos [no es necesariamente igual a] triangular números - voy a tratar de adaptar su prueba si no puedo encontrar otro.

Las referencias o sugerencias sobre la manera de abordar el problema sería apreciada.

Gracias!
Kieren.

Answer 1

$n^2$ puede ser escrito como $a^2 + b^2 + b,$ $a,b \geq 1,$ si y sólo si $$ 4 n^2 + 1 $$ es compuesto.

Si $4 n^2 + 1$ es compuesto, es la suma de dos cuadrados de una manera distinta, $$ 4 n^2 + 1 = 4 u^2 + (2v+1)^2. $$ $$ n^2 = u^2 + v^2 + v. $$

Si $$ n^2 = a^2 + b^2 + b,$$ $$ 4 n^2 + 1 = 4 a^2 + (2b+1)^2, $$ tiene dos distintas representaciones como suma de dos cuadrados y, por tanto, es compuesto.

Hay un muy buen artículo corto por Juan Brillhart acerca de la relación entre las múltiples expresiones de un número como la suma de dos cuadrados (o como cualquier $m x^2 + n y^2$) y compositeness de ese número. American Mathematical Monthly, diciembre de 2009, páginas 928-931, título de Una Nota de Euler del Problema de la Factorización. La primera página de un artículo de seguimiento es visible en la PRIMERA PÁGINA.

Answer 2

$4n^2+1=(2a)^2+(2b+1)^2$. Así que realmente depende de si$4n^2+1$ se puede escribir como la suma de dos cuadrados en más de la manera trivial. Eso sucede exactamente cuando$4n^2+1$ es compuesto.

Así que los cuadrados que no son de esta forma son los para los que$4n^2+1$ es primo.