Semigrupo implica exponencial

Question

Dejemos que $S :[0,1]\to \mathbb R^{n\times n}$ sea una función continua que satisfaga $$ S(0)=I \quad\text{and}\quad S(s+t)=S(s)S(t), $$ para todos $s,t\in[0,1]$ con $s+t\in[0,1]$ . (Aquí $I$ es la matriz de identidad en $\mathbb R^{n\times n}$ ).

Demuestre que existe una matriz $A\in\mathbb R^{n\times n}$ , de tal manera que $S(t)=\mathrm{e}^{tA}$ .

Comentario. Una vez que demostramos que $S$ es diferenciable en $0$ y, a continuación, establecer $A=S'(0)$ no es difícil demostrar lo anterior, ya que entonces tendríamos $S'(t)=AS(t),\,\,S(0)=I$ que es un sistema de EDOs con solución única la exponencial.

Answer 1

Para $0<t<1$ definan la matriz integrada $H(t)x= \int_0^t S(w)x\,dw$ . Tenga en cuenta que ${1\over t}H(t) x\to x$ como $t\to 0$ Así pues, para $t$ lo suficientemente pequeño, $H(t)$ es invertible. Ahora fijamos un $t$ .

Su semigrupo es diferenciable por la derecha en $H(t)(\mathbb{R}^n)=\mathbb{R}^n$ ya que los cálculos directos dan
$${S(s)(H(t)x)-H(t)x\over s}\to (S(t)-I)x,$$ como $s\downarrow 0$ . La matriz requerida es $A=(S(t)-I)H(t)^{-1}$ .

Answer 2

Esto puede no ser cierto; voy a poner mi primera impresión y pensar en ello. En una pequeña vecindad de la matriz identidad tenemos un logaritmo bien definido. Así que, tomando $L(t) = \log S(t)$ tenemos la ecuación $L(s+t) = L(s) + L(t).$ Esto es Ecuación funcional de Cauchy en cada entrada de la matriz.

Lo interesante es que una solución mala de la ecuación de Cauchy no tiene límites en ningún intervalo. Tal vez se pueda concluir que $L$ es lineal por eso.

No: toma una solución discontinua en una variable, $$ g(s+t) = g(s) + g(t). $$

Toma una matriz fija que te guste, llámala $B.$

Entonces defina $$ S(t) = e^{g(t) B}. $$

Esto resuelve $S(s+t) = S(s) S(t).$ Pero algo malo. Así que la pregunta es, ¿viola esto alguna de sus hipótesis? Hmmm. Sí, creo que hace un mapa discontinuo $S.$ Voy a dejar esto aquí, creo que es instructivo...

Answer 3

Esta es una prueba elemental de que dado A tal que $S(1)=e^A$ - es decir, si $S(1)$ admite un logaritmo, entonces $S(t)=e^{t A}$ .

De su definición se desprende que $S(1)=$ $S(m (1/m))=$ $S(1/m + ... + 1/m)=$ $S(1/m)...S(1/m)=$ $S(1/m)^m$ Así que $e^A=S(1/m)^m$ y por lo tanto $S(1/m)=e^{A{1/m}}$ . Por lo tanto, $S(n/m)=e^{(n/m)A}$ con un argumento similar para todos los $0\le n/m \le 1$ . Tenga en cuenta que ese caso $n=0$ requiere $S(0)=I$ según la hipótesis.

Tienes dos funciones continuas, $S$ y $e^{t A}$ que son iguales en $\Bbb Q$ que es denso en $[0, 1]$ . Por lo tanto, son iguales en todo el intervalo.

Actualización

Me gusta la respuesta de Schmuland, y no me extenderé más.