Dejar $I\unlhd \mathbb{C}[x,y]$. Entonces, ¿es posible que$$Tor_1^{\mathbb{C}[x,y]}\left(\frac{\mathbb{C}[x,y]}{(x)},\frac{\mathbb{C}[x,y]}{I}\right)=0$ $ para todos$I$? Realmente no estoy muy seguro de qué hacer aquí, pensé que acababa de ver si alguien tenía alguna intuición?
Respuesta
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AreaMan
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Hay alguna instrucción que no recuerdo sobre que sólo necesitan para comprobar contra el residuo de campo. Así que (en lugar de la caza a través de Eisenbud) vamos a hacer eso.
En primer lugar, hay una resolución libre de $C[x,y] / (x,y)$:
Empezar con $C[x,y]^{\oplus 2} \to (x,y)$. Aquí el mapa es la suma directa de $m_x : \mathbb{C}[x,y] \to \mathbb{C} [x,y]$ (multiplicación por $x$) y $m_y$.
El kernel es el submódulo (diagonal de la acción de coordinar anillo) generado por $y \oplus (-x)$. Este submódulo es gratis, así que esto nos da una resolución libre.
A continuación nos tensor con $C[x,y]/(x)$.
El resultado de estoes para obtener una cadena compleja $C[y] \to C[y]^2 \to C[y]$. El único lugar donde puede haber homología está en el grado medio (usted tiene que calcular los mapas para ver esto). Cuando me calcula la homología de allí, conseguí $C[y] / (y) = C$.
- La conclusión parece ser que $Tor_1^{\mathbb{C}[x,y]}(C[x,y]/(x,y), C[x,y]/(y)) = \mathbb{C}$.
Yo espero que me hizo el cálculo a la derecha. Tal vez usted pueda comprobar mí.
