(Dis) demostrar que este sistema sólo tiene soluciones integrales.

Question

Este es el sistema de ecuaciones: $$\sqrt { x } +y=7$$ $$\sqrt { y } +x=11$$

Es bastante visible que la solución es $(x,y)=(9,4)$

Para ello, me he puesto a$x={ p }^{ 2 }$$y={ q }^{ 2 }$. Entonces me resta una ecuación de la otra que tengo $4$ sobre RHS y factorizados LHS para obtener dos factores en términos de$p$$q$.

A continuación, $4$ puede ser representado como $2*2$, $4*1$ o $1*4$. La comparación de los dos factores en ambos lados, tengo la solución.

Como se puede ver, el mayor inconveniente aquí es que supuse que este sistema sólo dispone de soluciones integrales y, a continuación, fue más allá. Hay alguna manera de que pueda probar que este sistema, de hecho, sólo ha de soluciones integrales o hay alguna otra forma elegante de resolver esta cuestión?

Answer 1

Quieres \begin{cases} x=(7-y)^2\\ y=(11-x)^2\\ 0\le x\le 11\\ 0\le y\le 7 \end{casos}

La ecuación se convierte en $$ x=49-14(121-22x+x^2)+(121-22x+x^2)^2 $$ lo que se reduce a $$ (x-9)(x^3-35 x^2+397x-1444)=0 $$ (cortesía de WolframAlpha). El polinomio $f(x)=x^3-35x^2+397x-1444$ tiene al menos una raíz real. Ha hecho tres. Uno de ellos satisface la condición de $0\le x\le 11$ y aproximadamente el $7.87$. Con este valor de $x$ obtenemos $y\approx 9.79$ que no satisface $0\le y\le 7$.

Uno puede ser más precisos: llame a $\alpha$ menos de la raíz de $f$. A continuación,$7<\alpha<8$, por lo que el$3<11-\alpha<4$$9<(11-\alpha)^2<16$, lo que muestra que la limitación en $y$ no se cumple.

¿Cómo se puede saber esto? Calcular

• $f(7)=-37$
• $f(8)=4$
• $f(12)=8$
• $f(13)=-1$
• $f(15)=11$

Así, usted sabe que las tres raíces de $f$ $7<\alpha<8$, $12<\beta<13$ y $13<\gamma<15$.

Answer 2

Si mueve las cosas y de la plaza de las ecuaciones, se tiene los siguientes dos a partir de las ecuaciones. $$x=(7-y)^2$$ $$y=(11-x)^2$$

Si usted conecte uno de estos en la otra y el factor de un término, se obtiene $$ (x-9)(x^3-35 x^2+397x-1444)=0. $$

Esta es una ecuación de cuarto grado, con cuatro soluciones en general. Hay un término lineal, $x-9$, y el restante cúbicos plazo. Si $x=9$, el término lineal llega a cero y la ecuación se resuelve. Si el enchufe $x=9$ nuevo en las ecuaciones originales, consigue $y=4$, por lo que esto representa la solución original. Para encontrar otras soluciones, sólo tiene que centrarse en las raíces de los restantes cúbicos plazo. Así que nos quedamos con la búsqueda de las raíces de esta ecuación

$$ x^3-35 x^2+397x-1444=0. $$

Todos cúbicas tienen tres raíces, si se tiene en cuenta raíces complejas y doble raíces. Las posibilidades van como este para cualquier cúbicos:

Hay tres reales, distintas raíces

Hay tres raíces reales, pero dos de ellos se combinan en una doble raíz

Hay una raíz real y un par de complejo conjugado raíces

Puede seguir con este procedimiento de Wikipedia para calcular la exacta raíces de la ecuación. O puede utilizar un equipo de solver para las raíces que se realiza un procedimiento similar internamente:

Esto muestra que este cúbico es en la primera familia con tres reales, distintas raíces, con $x \approx 7.8687, 12.848, 14.283$ y el correspondiente $y\approx 9.80504, 3.4151, 10.7781$.

Editar

Como un usuario señaló, en los valores que acabo de encontrar debe ser enchufado en las ecuaciones originales para ver si realmente resolver la ecuación, o si no son extraños. Resulta que estos tres soluciones son realmente extraños, lo que significa que son falsos resultados de cuadrar las ecuaciones originales. De este modo, la única solución que hemos encontrado como $(9,4)$. Es necesario que las soluciones son un subconjunto de los cuatro presentados, debido a que el sistema es fundamentalmente cuarto orden (dos ecuaciones cuadráticas), por lo que puede tener en la mayoría de los cuatro soluciones. La única de las soluciones necesarias que es suficiente es $(9,4)$, así que esta es la única solución. Se compone de dos números enteros, por lo que tenemos la prueba de que esta ecuación sólo tiene entero de soluciones.

Answer 3

Resuelva la primera ecuación para$x,$ la segunda para$y,$ para obtener

ps

ps

Sustituya el valor de$$ x = (y-7)^2.$ en la segunda ecuación, para obtener:

$$ y = (x-11)^2.$$x$ y-4,$$y = ((y-7)^2 -11)^2 = (y^2-14 y + 38)^2.$ y ^ 3-24y ^ 2 176 y - 361.$ This is a quartic equation, but dividing through by $ (x, y).

EDIT Mathematica parece pensar que la única solución es$ you get an irreducible cubic $

Answer 4

La segunda ecuación implica que$y$ es un cuadrado perfecto, el primero implica que es como máximo$7$. Solo hay 3 opciones -$y=0$,$y=1$,$y=4$. Los dos primeros no funcionan (llevan a$x=49$ y$x=36$ respectivamente), por lo que$y=4$,$x=9$ es la única solución integral.