Diferenciales en Física Estadística y Termodinámica

Question

En los cursos de física, se enseña a pensar en$dU$ como "un pequeño cambio en la energía potencial". Me pregunto qué podría ser una definición matemática precisa de estos objetos. Por ejemplo, en la primera ley de la termodinámica $$ dQ = dU dW $$ ¿cuál es este$d$? ¿Es la derivada exterior? No sé cómo darle sentido.

Además, estableciendo$dQ=TdS=dU+dW=dU+pdV-\mu dN$, ¿cómo se puede justificar ese$\frac{\partial S}{\partial U}|_{V,N}=\frac{1}{T}$?

Answer 1

Para otro ejemplo, podemos mirar

$$dE=TdS-pdV$$

Este es un compacto de la notación diciendo que $E$ depende de $S$ y $V$, $\frac{\partial E}{\partial S}=T,\frac{\partial E}{\partial V}=-p$. Uno no necesita realmente hacer sentido de los diferenciales de los símbolos en sí mismos, en lugar usted puede pensar en esto como una abreviatura. De hecho, yo sugeriría este enfoque, ya que sin esta se tienden a cometer errores tales como la esperan $\frac{\frac{\partial E}{\partial S}}{\frac{\partial E}{\partial V}}=\frac{\partial V}{\partial S}$ cuando en realidad no es un signo de menos involucrados.

El dQ ejemplo es similar, excepto que Q no es una función de estado, por lo que no tiene sentido decir "Q depende de U y W". Aun así, dada una ruta entre dos configuraciones que puede determinar el cambio de calor mediante la integración de dQ a lo largo de esa ruta.

Parte de la razón por la que este aparentemente peculiar se utiliza la notación de la termodinámica, es que de verdad que cada estado de la función puede ser pensado como dependiendo de algún otro conjunto de funciones de estado. Por ejemplo, se puede describir el equilibrio comportamiento de algunas de gas a través de $E(S,V)$ o $S(E,V)$; ambas son igualmente válidas, sólo depende de sus preferencias. Este diferencial de la notación pone las dos presentaciones en más similares pie de la habitual de la notación matemática.

Answer 2

Comenzaremos por definir diferenciación parcial versus el total de la diferenciación de un escalar con valores de la función $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ en un campo de vectores $\mathcal{V}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$. Para cada una de las $v\in\mathbb{R}^n$, vamos a escribir $\mathcal{V}(v)$ para el vector asignado a $v$ bajo $\mathcal{V}$ $$f(v)=f(v_0,\dots,v_{n-1}),$ $ donde la indexación es una reliquia del hecho de que yo soy su mayor parte de un conjunto teórico de la formación.

Deje $\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)$ ser el conjunto de todas las funciones de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$. Definimos un operador $\partial_i:\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)\rightarrow\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)$ tal que para cada función $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, $\partial_i(f):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ es la única función obtenida mediante la definición de $$\partial_i(f(v))=\partial_if(v)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(v_0,\dots,v_{i}+h,\dots,v_{n-1})-f(v_0,\dots,v_i,\dots,v_{n-1})}{h}$$ for all $v\in\mathbb{R}^n$. We will refer to $\partial_i$ as the $i^{th}$ partial derivative operator on $\mathbb{R}^n$. Viewing a function as a set of ordered pairs, we have $$\partial_i=\{\big(f,\partial_i(f)\big):f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)\}.$$

Este es un poco más áspero de la definición de la diferenciación parcial, pero se pone el punto y es totalmente correcta para estrictamente el espacio Euclidiano. Calcular el $i^{th}$ derivada parcial de algunos escalar con valores de la función de las cantidades a tener un límite de la 'cambio en el cociente' de la función como podemos cambiar el $i^{th}$ coordenadas de entrada por una de menor tamaño y menor cantidad en cada vector en el dominio de nuestra función.

Para el total de la diferenciación, yo beieve podemos utilizar la siguiente:

Deje $\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)$ ser como el anterior. Definimos un operador $\mathcal{d}_i:\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)\rightarrow\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)$ tal que para cada función $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, $\mathcal{d}_i(f):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ es la única función obtenida mediante la definición de $$\mathcal{d}_i(f(v))=\mathcal{d}_if(v)=\partial_if(v)+\sum_{j\neq i}\partial_jf(v)\frac{dv_j}{dx_i}$$ for all $v\in\mathbb{R}^n$. We will refer to $\mathcal{d}_i$ as the $i^{th}$ total derivative operator on $\mathbb{R}^n$. Viewing a function as a set of ordered pairs, we have $$\mathcal{d}_i=\{\big(f,\mathcal{d}_i(f)\big):f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)\}.$$

Me han estafado un poco por el uso de la notación de Leibniz $\frac{dv_j}{dx_i}$ a 'cocer en' todos los de la uno-dimensional cálculo implícitamente teniendo lugar aquí, pero básicamente la idea es que si $v=\mathcal{V}(r)$ $r=(x_0,\dots,x_{n-1})\in\mathbb{R}^n$ (si es un vector de debajo de la imagen del vector de campo), a continuación, cada una de las $v_i$ es una función de a a $n$ variables $x_0,\dots,x_{n-1}$. Si las coordenadas de a $v$ dependen de más de una coordenada de $r$, el total derivado de la toma de esta dependencia mutua en cuenta mediante el proceso anterior.

Voy a tener que pensar un poco más sobre cómo exactamente para obtener una bonita vista de estas operaciones en un parámetro físico del espacio, pero estas deben ser las definiciones que estás buscando.