Mecánica cuántica: ¿cómo puede ser compleja la energía?

Question

En la sección 134 del Vol. 3 (Mecánica Cuántica), Landau y Lifshitz complejizan la energía para describir una partícula que puede decaer:

$$ E = E_0 - \frac{1}{2}i \Gamma. $$

El propagador $U(t) = \exp(-i H t)$ entonces hace que la función de onda muera exponencialmente con el tiempo. Pero también, $H$ es no-Hermitiano.

Mi pregunta: ¿Tenemos que modificar los postulados básicos de la mecánica cuántica (tal como los describe Shankar, por ejemplo, o las secciones anteriores de Landau y Lifshitz) para describir las partículas inestables?

Answer 1

No tenemos que modificar las leyes básicas de la mecánica cuántica para describir partículas inestables. El estado completo del sistema incluye el estado de los productos de desintegración, y lo que realmente tienes es un acoplamiento de un estado a otro. No se necesitan energías imaginarias para describir esto, pero sí es necesario incluir los estados de los productos de desintegración en el cálculo.

Este acoplamiento es simétrico (y el hamiltoniano total sigue siendo, por tanto, hermitiano). Aun así, es frecuentemente improbable que los productos de la desintegración vuelvan a formar la partícula original, porque los productos de la desintegración suelen ser más de una partícula. Esto significa que la entropía de los productos es mayor que la entropía de la partícula original. Es poco probable que esta entropía disminuya, por lo que la parte del estado cuántico que corresponde a los productos está en cierto modo "perdida".

Además del mayor espacio de estado, los productos tienen menos masa en reposo que la partícula madre, lo que significa que para que la energía se conserve tienen que tener más energía cinética. Esto hace que las partículas del producto vuelen lejos del lugar donde se formaron y entre sí; es poco probable que se recombinen cuando están separadas por una gran distancia.

Lo que Landau describe es un truco para calcular ciertos observables sin incluir la dinámica de los productos de desintegración. La parte imaginaria del Hamiltoniano hace que la función de onda decaiga de forma similar a un acoplamiento unidireccional a otro estado. Dado que hay muchos más estados producto posibles, cada uno de ellos está casi vacío y esto es una aproximación razonable.

Answer 2

Creo que también puede ser fructífero no pensar en el hamiltoniano como la energía. El hamiltoniano es el generador de las traslaciones del tiempo, por lo que un valor propio del hamiltoniano que sea complejo te indica que hay cierta descomposición, como señaló Edoot. Esta es una distinción importante. Cuando calculamos el "espectro de energía" de un hamiltoniano, lo que realmente estamos calculando es el espectro de frecuencia de la evolución temporal del sistema.

Una de las mejores discusiones que he visto sobre CÓMO se obtienen estos hamiltonianos efectivos calculándolos directamente está en Quantum Field Theory of Many-Body Systems de Wen. En uno de los primeros capítulos, habla de un "circuito cuántico RLC". El libro tiene aciertos y errores, pero creo que esta discusión es clara y un buen ejemplo de las teorías de campos efectivos.

Answer 3

No necesitamos modificar los postulados.

$ E = E_0 - \frac{1}{2}i \Gamma $ sólo describe parcialmente el sistema. $x$ desaparece la partícula, y $y$ Aparece una partícula (una o varias).

Inicialmente: $E_x = E_0$ y $E_y = 0$

Finalmente: $E_x = 0$ y $E_y = E_0$

Añadir $- \frac{1}{2}i \Gamma$ porque de necesitamos una decadencia:

$$ \exp(-iHt) = \exp(-iE_0t)\exp(-\frac{1}{2} \Gamma t) $$

$\exp(-\frac{1}{2} \Gamma t)\rightarrow 0$ rápido = desaparición de partículas.