Expectativa condicional como un derivado del Radon-Nikodym.

Question

Ayer encontré el siguiente post muy bonito que presentaba la expectativa condicional de una manera que me pareció intuitiva;

La expectativa condicional con respecto a una $ \sigma $ -algebra .

Me pregunto si hay una manera de ver que $E(X \mid \mathcal {F}_n)( \omega )= \frac 1 {P(E_i)} \int_ {E_i}X \, dP$ si $ \omega \in E_i$ podría considerarse un derivado del Radon-Nikodym. No puedo formalmente conectar los puntos con respecto a por ejemplo la discusión de Wikipedia,

https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation .

Me falta la parte en la que la medida se "pondera", es decir, algo análogo a $ \frac 1 {P(E_i)}$ en el artículo de Wikipedia.

Actualización

Se me ocurrió que si se divide la relación definitoria por la medida del conjunto, se tiene

$ \frac {1}{P(E_{i})} \int_ {E_i}X \, dP= \frac {1}{P(E_{i})} \int_ {E_i}E(X \mid \mathcal {F}_n) \, dP$ para todos $E_{i} \in \mathcal {F}_{n}$ . Parece que tenemos una función que concuerda con las ventajas de $X$ a.e. en cada conjunto del álgebra $ \mathcal {F}_{n}$ . Esto no es exactamente lo que escribe @martini, pero tal vez es una manera de verlo también. Esto parece algo que encajaría mejor en la discusión de Wikipedia. Pero no encaja bien en otras ocasiones.

Así que la pregunta sigue siendo,

¿Cómo puedo pensar en esto de la manera correcta? Si la segunda forma es incorrecta, ¿cómo es la primera consistente con el artículo de Wikipedia?

¡Mi comentario de la respuesta de Sangchuls también será de ayuda para entender mis problemas!

Answer 1

Supongamos que $X \geq 0$ . Luego $ \nu (E) = \int_ {E} X \, d \mathbb {P}$ definió una medida sobre el espacio de probabilidad $( \Omega , \mathcal {F}, \mathbb {P})$ . Por supuesto, su derivado del Radon-Nikodym es simplemente $d \nu /d \mathbb {P} = X$ .

Ahora restringimos $ \nu $ al espacio espacial $( \Omega , \mathcal {G}, \mathbb {P}|_{ \mathcal {G}})$ donde $ \mathcal {G} \subset \mathcal {F}$ es un $ \sigma $ -subálgebra. Entonces el derivado del Radon-Nikodym es

$$ \frac {d \nu |_{ \mathcal {G}}}{d \mathbb {P}|_{ \mathcal {G}}} = \mathbb {E}[X \mid \mathcal {G}]. $$

Esto es sólo una reformulación de la definición de expectativa condicional $ \mathbb {E}[X \mid \mathcal {G}]$ que se define como el $ \mathcal {G}$ -variable aleatoria medible $ \tilde {X}$ satisfactoria

$$ \forall E \in \mathcal {G}: \quad \int_ {E} X \,d \mathbb {P} = \int_ {E} \tilde {X} \,d \mathbb {P}. $$