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Question

Encuentra$$\int \frac{\sqrt{2-3x}\,dx}{x^2+1}$ $

He utilizado la sustitución$x=\frac{2}{3} \sin^2 y$ Por lo que recibimos$dx=\frac{4}{3} \sin y \cos y dy$

por lo tanto

ps

Ahora si vuelvo a usar la sustitución$$I= \frac{36\sqrt{2}}{3} \int \frac{\sin y \cos^2 y\, dy}{4 \sin^4 y+9}$ obtenemos$\cos y=t$ $

ps

Cualquier otro enfoque?

Answer 1

Deje $u=\sqrt{2-3x}$, $1+x^2 = \frac{1}{9}\left((2-u^2)^2+9\right)$ $x=\frac{1}{3}\left(2-u^2\right)$ $dx=-\frac{2}{3}u\,du$ lo desea:

$$-6\int\frac{u^2\,du}{(2-u^2)^2+9}$$

Ahora trata de fracciones parciales, se obtiene un factoring:

$$\begin{align}(2-u^2)^2+9 &= u^4-4u^2+13\\&=\left(u^2+\left(\sqrt{4+2\sqrt{13}}\right)u+\sqrt{13}\right)\left(u^2-\left(\sqrt{4+2\sqrt{13}}\right)u+\sqrt{13}\right) \end{align}$$

Eso va a implicar algunos muy feo fórmula para obtener un resultado final. Me sorprendería si no es una simple fórmula.

Si $\alpha = \sqrt{1+\sqrt{\frac{13}{4}}}$$\beta = \sqrt{13}$, entonces usted necesita para resolver:

$$f(u)=\frac{u^2}{u^4-4u^2+13}=\frac{au+b}{u^2+2\alpha u +\beta}+\frac{cu+d}{u^2-2\alpha u +\beta}$$

Desde $f(u)=f(-u)$, usted tiene que $-c=a,b=d$. Desde $b+d=0$, consigue $b,d=0$.

Consigue $$f(u)=\frac{au}{u^2+2\alpha u+\beta}+\frac{-au}{u^2-2\alpha u+\beta}$$

Y usted consigue $-4a\alpha =1$$a=-\frac{1}{4\alpha}$.

Usted va a conseguir un horrible mezcla de $\arctan, \log$, y un montón de raíces cuadradas de $13$.

Por último, $$\begin{align}\int\frac{u\,du}{u^2+2\alpha u+\beta} &= \frac{1}{2}\int \frac{(2u+2\alpha)\,du}{u^2+2\alpha u+\beta}-\alpha\int\frac{du}{u^2+2\alpha u+\beta} \\&=\frac{1}{2}\log(u^2+2\alpha u+\beta)+\frac{\sqrt{\beta-\alpha^2}}\arctan\left(\frac{u+\alpha}{\sqrt{\beta-\alpha^2}}\right) \end{align}$$

Y de la misma manera:

$$\int\frac{u\,du}{u^2-2\alpha u+\beta}=\frac{1}{2}\log(u^2-2\alpha u+\beta)+\frac 1{\sqrt{\beta-\alpha^2}}\arctan\left(\frac{u-\alpha}{\sqrt{\beta-\alpha^2}}\right)$$

Finalmente, usted consigue, con $\gamma = \sqrt{\beta-\alpha^2}=\sqrt{-1+\sqrt{\frac{13}4}}$:

$$\frac{3}{2\alpha}\left(\frac{1}{2}\log\frac{u^2+2\alpha u+\beta}{u^2-2\alpha u+\beta}+\frac1\gamma\left(\arctan\left(\frac{u+\alpha}{\gamma}\right)-\arctan\left(\frac{u-\alpha}{\gamma}\right)\right)\right)$$

Como resulta, $\alpha\gamma = \frac{3}{2}$, por lo que obtener algunas simplificaciones. Usted puede también utilizar ese $\arctan x-\arctan y = \arctan\frac{x-y}{1+xy}.$

A continuación, reemplace $u=\sqrt{3-2x}$.

Answer 2

sugerencia: let$u = \sqrt{2-3x}\implies 2-3x=u^2\implies x = \dfrac{2-u^2}{3}, dx = -\dfrac{2udu}{3}$. A continuación, hacer una fracción de descomposición. Se puede hacer, pero no es corto!