¿Cuál es la solución general a las ecuaciones de la forma$f(k\cdot x)-lf(x)=1, k,l \in \Bbb N$? Demuestre que$\log_{10} x$ es la solución cuando$k = 10,l =1$.

Question

Tengo una función$f:\mathbb{R}^{>0}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisface la siguiente ecuación:$$f(10\cdot x)-f(x)=1 \quad\quad (1)$ $

De mirar esta ecuación puedo ver fácilmente que$f(x)=\log_{10}(x)$ funciona bien.

Sin embargo, si la ecuación hubiera sido$$f(10\cdot x)-5f(x)=1 \quad\quad (2)$ $ entonces el logaritmo no habría funcionado.

Dos preguntas:

1. ¿Cómo puedo probar que el logaritmo es la única solución a la ecuación (1)?
2. ¿Existe una manera general de resolver este tipo de ecuaciones, por ejemplo, ¿cómo se resolvería la ecuación (2)?

Answer 1

Para la primera pregunta,$\log_{10}$ no es la única solución: vamos$g$ ser cualquier función definida en$[1, 10)$. Defina$$f(x) = k + g(x \cdot 10 ^{-k})$ $ cuando$10^k \le x \lt 10^{k+1}$. Entonces$f$ es una solución de la ecuación funcional. Tenga en cuenta que $k = \lfloor\log_{10}(x)\rfloor$

Para la segunda ecuación, puede usar una definición similar, sugiero$$f(x) = 5^k \left( g(x \cdot 10 ^{-k}) + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4}$ $

Answer 2

Como Gribouillis señala, no existen soluciones únicas a las ecuaciones como este. La ecuación sólo conecta los valores de $f(x)$ para los valores de $x$ que difieren por un factor de diez, así que no dice nada acerca de la $f(x)$ $f(y)$ al $x/y$ no es una potencia entera de diez.

Sin embargo, hay una manera de encontrar una "buena" solución para el tipo de ecuación. Si desea que la solución general en lugar de bastante, este no es tu respuesta. Bastante me refiero a algo que satisface una generalización natural de su condición.

Considerar el segundo problema. Tomar cualquier $x\in(0,\infty)$$n\in\mathbb N$. Tenemos $$ \begin{split} f(10^nx) &= 1+5f(10^{n-1}x) \\&= 1+5(1+5f(10^{n-2}x)) \\&= (1+5)+5^2f(10^{n-2}x) \\&= \dots \\&= (1+5+25+\dots+5^{n-1})+5^nf(x) \\&= \frac14(5^n-1)+5^nf(x) \\&= 5^n(\frac14+f(x))-\frac14 . \end{split} $$ Esta fórmula se puede utilizar para encontrar la solución general si desea. Para encontrar una solución bonita, añadimos el adicional de restringir el supuesto de que esto tiene para todos los valores de $n\in\mathbb R$. Para $x=1$ $f(1)=a-1/4$ (el cambio es por conveniencia) esto lleva a $$ f(y) = f(10^{\log_{10}y}) = %5^{\log_{10}y}(\frac14+a)-\frac14 5^{\log_{10}y}-\frac14 . $$ Es fácil comprobar que este hecho satisface $f(10^tx) %=5^{t+\log_{10}x}-\frac14=5^t5^{\log_{10}x}-\frac14 =5^t(f(x)+1/4)-1/4$ para todos los $x>0$$t\in\mathbb R$.

Usted es libre de elegir el parámetro de $a$. Para $a=0$ usted obtiene la constante de la función $f(x)=-1/4$.

Del mismo modo, para el primer problema con el que se obtendría $f(y)=a+\log_{10}y$ con este método.

Answer 3

ps

Por inducción es fácil probar$$f(10\cdot x)-f(x)=1 \quad\quad (1)$

Así que cualquier función$ f(10^n) = n + f(1) $ (s) satisface$g(s) \longrightarrow g(1) + \log_{10} $

Con $(1)$ ....