¿Qué hay de malo en esta prueba que $e = 1$ ?

Question

$$e = e^1 = e^{\frac{2\pi i}{2\pi i}} = (e^{2\pi i})^{\frac{1}{2\pi i}} = (1)^{{\frac{1}{2\pi i}}} = 1$$

¿Qué hay de malo en esta prueba? Supongo que el fallo está en el tercer signo de igualdad, donde $e^{\frac{2\pi i}{2\pi i}} = (e^{2\pi i})^{\frac{1}{2\pi i}}$ . Pero, ¿cuál es la norma concreta que se está incumpliendo? Y lo que es más importante, ¿cuál es la regla que debo seguir en general en los análisis complejos para asegurarme de que no ocurran este tipo de cosas?

Answer 1

Esto es como decir:

$$-1=(-1)^{1}=\left((-1)^{2}\right)^{1/2}=1^{1/2}=1$$

El problema es que los complejos $x^{y}$ es realmente complicado.

Si queremos $x^y$ para ser una función de un solo valor, entonces se pierde la propiedad $\left(x^y\right)^z=x^{yz}$ .

Si permitimos $x^y$ sea multivalente, entonces $-1$ y $1$ son ambos valores de $1^{1/2}$ y $e$ y $1$ son ambos valores de $1^{\frac{1}{2\pi i}}$ . Pero eso no significa que $-1=1$ o $e=1$ .

En general, si $x$ es un número complejo distinto de cero, la única vez que hay un único valor para $x^y$ es cuando $y$ es un número entero.

Cuando $y=p/q$ es un número racional, con $p,q$ relativamente primo, entonces hay $q$ distintos valores posibles para $x^y$ .

Para cualquier otro $y$ hay infinitos valores posibles de $x^y$ . En particular, hay infinitos valores para $1^{\frac{1}{2\pi i}}$ y todos ellos son $e^{k}$ para algún número entero $k$ .

Con la vista multivaluada sólo se consigue que cada valor de $x^{yz}$ es un valor de $(x^y)^z.$ Lo contrario no es cierto, en general. Del mismo modo, cada valor de $x^{y+z}$ es un valor de $x^yx^z,$ pero no a la inversa.