Eliminación de cuantificadores para $\exists x\ x^2=y$

Question

Considere la fórmula $\exists x\ x^2=y$ con conexión variable $y$. Sabemos que es el equivalente, en $Th(\mathbb R,+,0,\cdot,1, \geq)$ (la teoría completa de la orden de campo $\mathbb R$)$y\geq 0$. Ahora me han dicho que tal eliminación de cuantificadores no se puede realizar en $Th(\mathbb R, 0,1,+,\cdot)$, es decir, sin usar el orden.

He tratado de convencer a mí mismo de esta, y, intuitivamente, de ordenación de entender. Pero alguien puede darme una precisión de la prueba de este hecho?

Gracias de antemano.

Answer 1

Un cuantificador libre afirmación acerca de $y$ en el idioma de $\{0,1,+,\cdot\}$ es una combinación Booleana de ecuaciones polinómicas en $y$ natural con el número de coeficientes. Ya que cada ecuación tiene a lo más un número finito de soluciones o cada número como una solución, se sigue que cada conjunto definible por una combinación Booleana de ecuaciones polinómicas en $y$ es finito o cofinite en los reales. Por lo tanto, no podemos definir a los números positivos de esta manera, y en particular, no hay ningún cuantificador-de manera libre para expresar la afirmación de $\exists x\ x^2=y$ de su título.