Demostrar que $\sum_{n=0}^{\infty}{{a_n}{z^n}}$ converge absoluta y uniformemente en $D$ .

Question

PROBLEMA

Supongamos que la serie compleja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{a_n}$ converge. Sea $r < 1$ y establecer $D = \{z \in \mathbb{C} : |z| < r\}$ .

Demostrar que $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{{a_n}{z^n}}$ converge de forma absoluta y uniforme en $D$ .

MIS INÚTILES INTENTOS

Sé que debo utilizar de alguna manera el resultado(s) en esta pregunta: Si la serie compleja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{a_n}$ converge, demuestre que existe un número positivo $A$ tal que $|a_n| \leq A$ para todos $n$ . .

Además, la forma más fácil que se me ocurre para resolver este problema es utilizar el siguiente teorema:

TEOREMA ( Prueba M de Weierstrass o Teorema de convergencia dominante )

Dada la serie de funciones $\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{{f_n}(z)}, z \in E$ . Supongamos que $\{M_n\}$ es una secuencia de números reales positivos tal que (i) $|{f_n}(z)| \leq M_n, \forall n \in \mathbb{N}, \forall z \in E$ . (ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{M_n}$ converge. Entonces $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{{f_n}(z)}$ converge absoluta y uniformemente en $E$ .

Por supuesto, sé que tengo que establecer ${f_n}(z) = {a_n}{z^n}$ . Entonces ${f_n}(z)$ es una serie de potencias. Lo que no sé es la secuencia $\{M_n\}$ .

PREGUNTAS

(1) ¿Es la prueba M de Weierstrass la mejor manera de abordar este problema? Si es así, ¿cuál debería ser mi $M_n$ ?

(2) Si la respuesta a la primera pregunta en (1) es NO ¿Cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

Usamos el Weierstrass $M$ -Prueba.

Como se ha insinuado en los comentarios, sólo tenemos que elegir ${f_n}(z) = {a_n}{z^n}$ y $M_n = Ar^n$ , donde $A$ es un límite para $\{a_n\}$ (por el resultado en Si la serie compleja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{a_n}$ converge, demuestre que existe un número positivo $A$ tal que $|a_n| \leq A$ para todos $n$ . ). Tenga en cuenta que

(i) $\left|{f_n}(z)\right|=\left|{a_n}{z^n}\right|=|a_n||z^n| \leq A{r^n} = M_n, \forall n \in \mathbb{N}, \forall z \in D$ .

(ii) $\sum_{n=0}^{\infty}{M_n}$ converge por la Prueba de la Razón.

Por lo tanto, $\sum_{n=0}^{\infty}{{a_n}{z^n}}$ converge absoluta y uniformemente en $D$ .