Infinito 'hex': es un ganar siempre alcanzable?

Question

En el juego de la hexagonal, al menos un jugador siempre gana porque se puede formar una cadena de hexágonos a través de la junta. Esto me llevó a preguntarme, ¿qué sucede si generalizamos a una infinidad de puntos?

Específicamente, si cada punto en una unidad cuadrada (incluyendo límites), es de color rojo o azul, no existe necesariamente una función continua $f: [0,1] \to [0,1]\times [0,1]$ tal que $f(x)$ es

a) Siempre se red$\space\space$ $f(0)=(0,a), f(1)=(1,b)$ para algunos,b

b) Siempre azul y $f(0)=(a,0), f(1)=(b,1)$ para algunos,b

Además, si existe una función tal que (a) es verdadera, entonces eso no significa necesariamente que no existe una función tal que (b) es verdadera?

(En el ejemplo, el rojo gana con la ruta que se muestra un azul pierde)

Mi intuición me dice que esto es cierto, pero no tengo idea de cómo empezar a probarlo. Mi mejor idea era color de las regiones a la izquierda y a la derecha de la plaza roja. Entonces, cualquier cosa conectada a esta región roja está marcado en verde. Si la otra parte está conectado a esto hemos terminado. De lo contrario, tomar los puntos a lo largo de la frontera de esta región verde. Deben ser de color azul de lo contrario, existe un punto más cerca de la región que es de color azul (por la definición de la región verde). Por lo tanto, este límite llega a todo el camino hacia abajo a la parte inferior y hemos terminado. Pero no estoy seguro de si esta verde región está bien definido ni nada y no tengo idea de cómo, para mostrar que es.

(También, no tengo idea de qué etiqueta(s) para poner en esto, lo siento)

Answer 1

No. De hecho, es posible que el color de toda la unidad de cuadrados de color rojo y azul, por lo que no hay no hay no constante función continua $f:[0,1]\to[0,1]\times[0,1]$ cuya imagen es totalmente de color. La observación clave es que la imagen de cualquier función no constante es un subconjunto cerrado de $[0,1]\times[0,1]$ de cardinalidad $\mathfrak{c}$, y sólo hay $\mathfrak{c}$ tales subconjuntos cerrados. Usted puede entonces construir una coloración por inducción transfinita, de modo que cada conjunto tiene un punto rojo y un punto azul.

En detalle, vamos a $(X_\alpha)_{\alpha<\mathfrak{c}}$ ser una enumeración de todos los subconjuntos cerrados de $[0,1]\times[0,1]$ de cardinalidad $\mathfrak{c}$. Podemos definir secuencias de $(r_\alpha)_{\alpha<\mathfrak{c}}$ $(b_\alpha)_{\alpha<\mathfrak{c}}$ por inducción. Después de haber definido $r_\beta$ $b_\beta$ todos los $\beta<\alpha$, definir $r_\alpha$$b_\alpha$, dos puntos distintos de $X_\alpha$ que no son iguales a $r_\beta$ o $b_\beta$ cualquier $\beta<\alpha$. Esto es posible ya que hemos elegido menos de $\mathfrak{c}$ puntos hasta ahora, y $X_\alpha$ tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$.

Obtenemos así dos conjuntos disjuntos $R=\{r_\alpha\}_{\alpha<\mathfrak{c}}$ $B=\{b_\alpha\}_{\alpha<\mathfrak{c}}$ que cada cruzan cada $X_\alpha$. El Color de todos los puntos en $R$ rojo, y todos los puntos en $B$ azul, y todos los puntos que están en ni $R$ ni $B$ sin embargo que usted desea. Entonces ninguno de los puntos rojos ni los puntos azules contener cualquier $X_\alpha$, y por tanto no contiene la imagen de un no constante función continua $f:[0,1]\to[0,1]\times[0,1]$.

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Sin embargo, es cierto que en la mayoría de uno de sus condiciones (a) y (b) son verdaderas. Ver esta respuesta a una pregunta anterior para una prueba. (La prueba no supone que los extremos de las rutas de acceso son las esquinas de la plaza, pero un argumento similar de las obras en general. O, usted puede solicitar una homeomorphism de la plaza que envía los extremos de las rutas de acceso a las esquinas.)

Answer 2

Color $(x,y)\in[0,1]^2$ rojo si $x=0$ o $y=1/2\cdot\sin(1/x)$. El Color de todo lo demás de color azul. No hay caminos de cualquier color, conexión de sus respectivos bordes.

Tenga en cuenta que el camino rojo no "llegar" a la línea de $x=0$. Ver también este post y el contraejemplo en las respuestas: "Teorema del Valor Intermedio" para las curvas

Answer 3

Bueno, pensando que más me ha llevado a esta respuesta:

Considere la posibilidad de la coloración:

$(x,0)$ es siempre azul

Para cada número natural n,

$(\frac{1}{n},y)$ es azul iff $\frac{1}{n}\leq y$, y todo lo demás es de color rojo.