Sé que el conjunto de todos los números racionales es contable, y pueden ser enumerados por una secuencia de decir $\{a_n\}$. Pero podemos construir un monótono $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$, por ejemplo, con $a_k<a_{k+1}$? No parece plausible para mí, porque, a continuación, $a_1$ sería el más pequeño número racional, que claramente no puede ser cualquier número finito. ¿Estoy equivocada?
Respuestas
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Ya Basha
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No se confunden. Incluso suponiendo que se desea sólo la no-números negativos, por lo que el $a_0=0$, usted no puede captar $a_1$ correctamente debido a que se han omitido $a_1/2$.
Alternativamente, podría permitir a los índices negativos ( $\ldots, a_{-1}, a_0, a_1,\ldots$ ), que también podría resolver con su "no hay ningún menor número racional" problema, pero todavía tiene el problema de que no son números racionales entre dos números. Específicamente, si la lista está completa, se deben tener algunas $n$ tal que $a_n=0$. Pero entonces necesariamente miss $a_{n+1}/2$.
thelsdj
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Como Arthur ya se indicó, dicha numeración no puede empezar con un número finito de índice, es decir, su secuencia de conteo de $-\infty$ $\infty$o se cuentan sólo los no-números racionales negativos (es decir,$\mathbb Q^+_0$). Y como Thomas mostró, una "normal" de la secuencia también no funciona ya que siempre vas a encontrar un número en el medio.
Sin embargo, usted puede definir una secuencia de secuencias de $\{\{a_{nm}\}_{n=-\infty}^\infty\}_{m=1}^\infty$ de manera tal que su $\lim_{m\to\infty}$ los rendimientos de una secuencia de contar todos los números racionales. Como un ejemplo, considere el típico enumeración secuencia de $\mathbb Q$ (ver, por ejemplo, aquí) y dejar que $\{a_{nm}\}_n$ ser la ordenada secuencia de la primera m números racionales obtenido de esa manera. La cosa es, sin embargo, usted se acaba de terminar con $\mathbb R$...
mxmissile
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Paralelo Thomas respuesta con más oscuras de uno:
Si $a_k < a_{k+1}$$a_k = \frac{b_k}{c_k}$, entonces la mediant $x:= \frac{b_k+b_{k+1}}{c_k+c_{k+1}}$ es un número racional entre los dos, así que no hay.
($b_k$$c_k$ son relativamente primos/son en términos mínimos)
Es elemental, pero no es obvio que la mediant $x$ está entre los dos (ejercicio para el lector). La razón de esta respuesta es incluso una cosa (Thomas dio una forma mucho más simple y más fácil de entender respuesta) es porque el uso de la mediant podemos construir un orden en los racionales que es contable, y además le da a todos y sólo los racionales.
La prueba usual de que el (positivo) racionales tienen igual cardinalidad de los naturales es, por 'convergencia'. contando a lo largo de antidiagonals de pares y, a continuación, ignorando racionales que ya se han visto (ignorando si gcd $\neq 1$). Esto es algo insatisfactorio porque no da una explícita bijection con los naturales. Para obtener el implícita racional-natural bijection de mcd, ver el de Stern-Brocot árbol para más detalles.
pjama
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Como se ha dicho, la respuesta es no, porque la pregunta utiliza el símbolo $<$ a que el significado implícito: El habitual orden de $\mathbb{Q}$ donde $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ fib $ad < bc$$\mathbb{Z}$.
Pero.
Como se mencionó en otra respuesta, $\mathbb{Q}$ puede ser bien ordenado, es decir, se puede definir un diferente orden de $\prec$ con la propiedad de que cada subconjunto no vacío de a $\mathbb{Q}$ contiene al menos un elemento con respecto a $\prec$. Por este orden, monótona secuencia que contiene todos los racionales es fácil de construir: vamos a $x_1$ ser el más pequeño racional, deje $x_2$ ser el elemento más pequeño de $\mathbb{Q} \setminus \{x_1\}$, etc.
