La prueba de $\sqrt{2}$ no es racional el número usando el teorema fundamental de la aritmética.

Question

Supongo que $\sqrt{2}$ es un número positivo satisface $(\sqrt{2})^2=2$.

prueba) Vamos a $m$, $n$ como número natural,$\ $ $M$ es el número del primer factor de $m$,$\ $ $N$ también es el número del primer factor de $n$. Por ejemplo, $m=12=2^2\cdot3$, $M$ es $3$.

Entonces, si $\sqrt{2}$ fueron número racional, puede ser expresado como una fracción $\frac{m}{n}$ en términos mínimos.

Si $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, $m^2=2\cdot n^2$. A continuación, $m^2$ $2M$ el primer factor, $n^2$ $2N$ el primer factor. LHS tiene incluso el primer factor, RHS ha impar primer factor. Esto es una contradicción con el teorema fundamental de la aritmética.

Por lo tanto, la hipótesis inicial-que $\sqrt{2}$ puede ser expresado como una fracción, debe ser falsa.

¿Hay algún problema? Si no, creo que esta prueba es más simple y fácil que la ordinaria de la prueba de la contradicción a la propiedad de los términos mínimos.

p.s. Esta prueba se puede aplicar a cualquier raíz de $n$-ésima potencia $\sqrt[n]{a}$, $n\in\mathbb{N}$ iff $a$ es primo.

Answer 1

Se ve bien, aparte de una pequeña errata:

$\sqrt{2}=\frac{n}{m}\implies 2m^2=n^2$, lo tienes al revés.

Answer 2

En cuanto a por qué es más fácil de lo habitual, la prueba: La prueba usual de no usar el teorema fundamental de la aritmética (o, al menos, se puede evitar muy fácilmente), que en realidad tiene un poco de trabajo para probar.

Utilizando el teorema fundamental de la aritmética para $\mathbb{Q}$ (i.e: Cualquier número racional puede ser el único escrito como un producto de potencias enteras de los números primos, este es un corolario de la declaración de los enteros), puedes probar algo mucho más general de reclamación:

Si $r$ es un número racional positivo y $n \in \mathbb{Z}$, $r^{1/n}$ es racional si y sólo si la factorización prima de $r$ es de la forma $$\prod_{p} p^{n e_p}$$ for some $e_p \in \mathbb{Z}$, with only finitely many $e_p \neq 0$.

En más palabras de fantasía: El grupo multiplicativo de positivos racionales es un libre abelian grupo, donde los números primos de la forma base.

Answer 3

El paso de Bill Dubuque se refiere a que puede ser más explícito con este argumento:

Si P(x) es la factorización en primos de x entonces, por definición P(x)P(x) es igual a xx. La combinación de los conjuntos P(x) y P(x) [permitiendo la duplicación de los elementos] es cuando se multiplica, por acuerdo de libre comercio, la factorización prima de sólo un número, que ya es P(x)P(x) sólo puede ser xx. Por consiguiente, si M(P(x)) es el tamaño de P(x), M(P(xx)) = M(P(x)) + M(P(x)).