Pruebas $n^3$ es par si $n$ es incluso

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Prueba $n^3$ es par si n es par.

Traducido a símbolos tenemos:

$n^3$ es incluso $\iff$ $n$ es incluso

Como es una doble implicación, empecé asumiendo que n es par, y al final llegué a la conclusión:

$$n \;\text{ is even }\;\implies \; n^3\;\text{ is even.}$$

Sin embargo, como es una doble implicación tengo que concluir $$n^3\;\text{ is even }\;\implies n \;\text{ is even.}$$

Supongo $n^3$ es par. Entonces $n^3 = 2k$ para algún número entero $k$ . Entonces $n = (2k)^{1/3}$ ...

Pero realmente no puedo encontrar una manera de conseguir un $2k$ expresión equivalente para $n$ ...

¿Puede orientarme?

Answer 1

SUGERENCIA: Para la segunda implicación, prueba el contrapositivo de la implicación. Supongamos que $n$ es no incluso (es decir, asumir $n$ es impar), y demostrar que, a continuación, $n^3$ es no incluso (es decir $n^3$ es impar).

$$P \implies Q \equiv \lnot Q \implies \lnot P$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $n^3-n=n(n-1)(n+1)$ . Esto es siempre par. Puesto que la diferencia a $x-y$ es incluso $\iff$ ambos $x,y$ son pares o ambos $x,y$ son impar, estás acabado.

Answer 3

Aunque estoy de acuerdo en que el otro comentario y la respuesta dada son correctos y es probable que el enfoque que se espera que utilice, personalmente inmediatamente en cuenta que si $n$ se escribe en su forma de factorización en primos ( $p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} ... p_i^{e_i}$ ) y se observa la forma que $n^3$ también, la proposición es obvia. Pero, probablemente sólo lo veo tan fácilmente porque estoy obsesionado con los patrones de factorización de números primos.

Tenga en cuenta que si usted está tomando una clase de escritura de prueba, este es un ejemplo perfecto de la utilización de una prueba como necesaria para otro, ya que el hecho de que no se introducen nuevos factores depende de la Teorema fundamental de la aritmética .

Answer 4

$ \newcommand{\even}[1]{#1\text{ is even}} $ He aquí otra demostración, que supone que se puede utilizar el hecho de que un número par tiene al menos un factor par, es decir $$ (0) \;\;\; \even{a*b} \;\equiv\; \even{a} \lor \even{b} $$ Con esto, no necesitamos trucos especiales para calcular \begin{align} & \even{n^3} \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"using $(0)$ twice"} \\ & \even{n} \lor \even{n} \lor \even{n} \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify"} \\ & \even{n} \\ \end{align} Por supuesto, usted todavía podría tratar de probar $(0)$ ...

Answer 5

$\leftarrow$ prueba directa: Si $n$ es par, entonces $n=2k$ donde $k\in \mathbb{Z}$ . Así que $n^3=(2k)^3=8k^3=2(4k^3)$ donde $4k^3\in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, si $n$ es par, entonces $n^3$ es par.

$\rightarrow$ prueba por contrapositiva: Supongamos que si $n$ es impar, entonces $n=2l+1$ donde $l\in \mathbb{Z}$ . Así que $(2l+1)^3=8l^3+12l^2+6l+1=2(4l^3+6l^2+3l)+1$ donde $4l^3+6l^2+3l\in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, si $n^3$ es par, entonces $n$ es par.