¿Es la derivada de una función diferenciable continua a.e.?

Question

Dejemos que $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función diferenciable.

Sé que $f'$ no necesita ser continua en $[a,b]$ . Sin embargo, todos los contraejemplos que conozco tienen discontinuidades finitas.

Quiero saber si $f'$ es continuius a.e. en $[a,b]$ . (Por supuesto, bajo la medida de Lebesgue)

Answer 1

Un resultado interesante que justifica la observación de la OP es el hecho de que la derivada $f'$ de una función derivable $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es siempre continua en un denso (-- $G_\delta$ ) subconjunto de $[a,b]$ porque $f'$ es el límite puntual de una secuencia de funciones continuas (por lo que es una función de clase uno de Baire). Esto es una consecuencia del Teorema de Baire. Se puede encontrar un buen y accesible relato sobre este tema aquí .

Observación. Esto significa que el conjunto de discontinuidad de $f'$ está contenida en un conjunto cerrado de interior vacío . Pero no necesariamente de medida de Lebesgue cero.