La extensión de la real analítica mapa sobre el círculo unidad

Question

Dado un real-analítica mapa de $f : \mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{S}^1$, donde $$\mathbb{S}^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\},$$ admite un complejo-analítica de la extensión de $\tilde{f} : U \rightarrow V$ donde $U$ $V$ son subconjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ contiene $\mathbb{S}^1$?

Si es así, ¿cómo se puede demostrar? Te agradecería una prueba tan elemental como sea posible (pero completa).

Gracias.

Answer 1

El mapa $\pi : \mathbb R \longrightarrow \mathbb S^1$, $\pi(x)=e^{2i\pi x}$ es la universalización de la cobertura del círculo unitario. Vamos a levantar el mapa de $f$ $F : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$que ahora es $1$-periódico. $F$ también es real-analítica. Así, para cada $x_0 \in \mathbb R$ existe $\varepsilon > 0$ tal que $F(x) = \sum_{n \geq 0}a_n(x-x_0)^n$ (la secuencia de $(a_n)$ depende de $x_0$). Por simplicidad, supongamos $x_0 = 0$.

$F(x) = \sum_{n \geq 0}a_nx^n$ $(-\varepsilon,+\varepsilon)$ . Vamos a extender la $F$ para el disco centrado en $0 = x_0$ radio $\varepsilon$:

$\tilde{F}(z) = \sum_{n \geq 0}a_n z^n$ $D(0,\varepsilon)$

Es obvio que la restricción de $\tilde{F}$ a la línea real es de $F$, e $\tilde{F}$ es holomorphic ya que es analítica. Podemos volver al círculo.