Me di cuenta de que un cálculo de variaciones problema es sólo una integral sobre una forma diferenciada. Por lo tanto, yo creo que sería posible la formulación de Euler-Lagrange las ecuaciones mediante cálculo exterior. Sin embargo, no sé de cómo conciliar la noción de un funcional derivado con decir un exterior de derivados.
Respuestas
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Jim Patient
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El contexto correcto para este problema es infinita jet paquete y el uso de la variacional bicomplex.
La referencia principal para esto es Ian Anderson de trabajo: http://math.uni.lu/~michel/datos/VARIATIONNAL%20BICOMPLEX.pdf
Mucho más fácil de leer sería la referencia Rob Thompson diapositivas, que se encuentran aquí: http://www.math.umn.edu/~robt/varbislides.pdf
geodude
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2315
A veces, usted puede. Si un funcional está parado en un camino en particular, esto significa que "alrededor de ese camino", hasta el primer orden, el valor de la funcional no cambia. Intuitivamente, "en el camino, el funcional no depende de la trayectoria". Sí, suena raro. Pero esto simplemente significa que a lo largo de la ruta, y sólo allí, un cierto 1-formulario es exacta! Permítanme hacer un ejemplo: la acción en la física.
El funcional es:
$$ S= \int L\,dt = \int (p\dot q -H)\,dt.$$
$ dS = L\,dt = p\,dq - H\,dt $ es la 1-forma en que está hablando.
Si hay una línea a lo largo de la cual es exacta (para que la escritura $dS$ tiene sentido), que la línea debe ser extremo!
De que forma es cerrada si:
$$ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\partial H}{\partial q} .$$
Hace de este anillo una campana, hablando de Euler-Lagrange? Esto es (casi) la ecuación de Hamilton. Si hay una línea en la que esta ecuación se satisface, entonces la línea es un extremo para la acción.
A la inversa, por desgracia, no siempre es cierto. Por ejemplo, la forma puede ser de ningún lugar cerrado. Pero no va a ser de nuevo un extremo, en general!
