¿Cuál es la diferencia entre "familia" y "set"?

Question

¿Cuál es la diferencia entre "familia" y "set"?

La definición de "familia" en mathworld (http://mathworld.wolfram.com/Family.html) es una colección de objetos de la forma $\{a_i\}_{i \in I}$ donde $I$ es un conjunto de índices. Pero, creo que también puede ser representado en este formulario. Así que, ¿cuál es la diferencia entre el concepto de la familia y el concepto de conjunto? ¿Hay algún ejemplo de una colección de objetos que es una familia, pero no a un conjunto, o a la inversa?

Muchas gracias!

Answer 1

Estrictamente hablando, una familia es una función de $I \to U$ donde $I$ es un conjunto de índices y $U$ es un universo que contiene a los miembros de la familia.

Estrictamente hablando, un conjunto es no una familia indizada por sí mismo: es la imagen de la familia, si los miembros son los elementos, o la unión de la familia, $\cup_{x\in X} \{x\}$, si los miembros son los únicos.

Answer 2

Una familia es un conjunto, y es definido por la indexación, como se observó.

Sólo así cada set $A$ es de la familia de la forma $\{i\}_{i\in A}$.

Sin embargo a menudo se quiere tener algún tipo de propiedad sobre el conjunto de índices (es decir, el fin de la relación, o alguna otra estructura) que no requieren de un conjunto general. Esto, además de la estructura en el índice puede ayudar a definir propiedades adicionales acerca de la familia, o probar cosas usando las propiedades de la familia (sus elementos son distintos, co-prime, aumentando en un poco de orden, cada dos elementos tienen una supremum, y así sucesivamente).

Answer 3

La "familia" puede tener las peatonal significado de 'un conjunto de conjuntos'. Así que en lugar de confundir al lector con 'set' demasiadas veces, se puede decir 'de la familia de los conjuntos de' lugar'. Por ejemplo, un hypergraph (o realmente los bordes de un hypergraph) es una familia de conjuntos de vértices.

Answer 4

Como @lhf dice, una familia es una función de $I\to U$. Si bien es cierto que cada sistema pueden ser entendidas como una familia indizada por sí mismo, no todos los de la familia es de esta forma. Por ejemplo, un único elemento de $U$ puede ocurrir más de una vez en una familia (con diferentes índices).

Answer 5

A veces uno se encuentra con una frase como "familia de conjuntos con la propiedad X".

En este caso el uso de "la familia" como un objeto matemático es más o menos informales y no bien definida (dentro de ZFC), ya que tal cosa no es necesariamente un conjunto. Usted debe leer "para cada miembro de la familia ..." como una abreviatura de "para cada conjunto que tiene la propiedad X ..." y tratar de no pensar en él como un verdadero conjunto demasiado. Si usted lo hace, usted podría encontrarse con problemas tarde o temprano. Por ejemplo, si usted comienza a preguntarse si la familia de todos los no-vacío conjuntos contiene en sí mismo-esto es todo lo relacionado con Russel paradoja, por supuesto.

(Hay una manera de deshacerse de este problema mediante la introducción de clases en el conjunto de la teoría.)