Si $T$ es positivo operador, a continuación, $I+T$ es invertible

Question

Deje $T$ positivo, operador en un espacio de Hilbert $H$, demuestran que, a $I+T:H\to H$ es invertible y $(I+T)^{-1} \in B(H)$.

Ahora, Si me demuestran $I+T$ es invertible, la limitada inversa teorema implica la segunda parte. Ahora, mientras demostrando que $I+T$ es invertible, me han demostrado que $I+T$ es uno-uno. Pero ahora tengo que demostrar que $I+T$ es sobre. Al hacerlo, mi idea es demostrar que $I+T$ está acotada por debajo, por lo que el $Range(I+T)$ se cierra y, a continuación, mostrar que $Range(I+T)^{\perp}=\{\ 0 \}\ $), luego por el teorema de la proyección tendremos $Range(I+T)=H$.

Pero no podía ejecutar esta idea. Otras ideas también será apreciado

Gracias de antemano!!

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ I+T-\lambda I=T-(\lambda -1)I. $$ Por lo $\lambda\in\sigma(I+T)\iff \lambda-1\in\sigma(T)$. En otras palabras, $$ \sigma(I+T)=\{\lambda+1:\ \lambda\en\sigma(T)\}. $$ Como $T$ es positivo, $\sigma(T)\subset[0,\infty)$. Por lo tanto $\sigma(I+T)\subset [1,\infty)$.

De ello se desprende que $0\not\in\sigma(I+T)$, lo $I+T$ es invertible.

Answer 2

Deje $A=I+T$. Recuerdan $\ker A^* = (\operatorname{ran} A)^\perp$. Para inyectiva auto-adjuntos a los operadores, esto ya implica que el rango es muy densa. Pero el operador no es sólo inyectiva pero está delimitada desde abajo, es decir, $c>0$ tal que $$\|Ax\|\ge c\|x\| \quad \forall x \tag{1}$$ De la propiedad (1) implica $\operatorname{ran} A$ es cerrado. Para resumir: una auto-adjunto del operador que está delimitada desde abajo, es invertible.

La prueba de (1) es una aplicación de monotonía: $$ \langle x+Tx, x+Tx\rangle \ge \langle x, x\rangle $$ por lo $c=1$ obras.