Tengo la esperanza de que la matemática tiene una respuesta a una pregunta que surja de un musical de ejercicio.
En términos relacionados con la música, el ejercicio es:
- Elija dos arpegios (conjuntos de notas) de iguales (o casi iguales) span (número de notas y la distancia entre ellos)
- Inicio en la parte inferior de uno, y jugar N notas va hacia arriba hasta que la parte de arriba, luego hacia abajo de nuevo
- Después de N, eligió la siguiente nota de los "otros" arpegio en la misma dirección va y repetición de reproducción (N notas)
- hasta que usted ha hecho "todo lo posible la transición de un arpegio para el otro"
Estoy tratando de averiguar cuáles son las características de los arpegios de determinar si:
- usted, de hecho, ir a través de cada posible transición de un arpegio a la otra?
- Si esto también significa que, intrínsecamente, de llegar a donde se comenzó.
Eso, en pocas palabras, es la pregunta.
El ejercicio fue dada con arpegios de longitud 10 y N=8
Aquí está mi intento de convertirlo en un "mathemetical manera", escapando del contexto musical.
Tenemos un conjunto ordenado de nodos (aka notas :) ). En este caso, 30 de ellos. Su ordinality puede ser representado por un número - que están numerados, y "superior" significa... superior en el sentido numérico.
(N1, N2, ..., N30)
Tomamos dos subconjuntos, llamar 'a' y 'D'. Estos tienen igual tamaño (en este caso 10).
A: (N1, N5, N8, N11, N13, N17, N20, N23, N25, N29)
D: (N1, N4, N6, N10, N13, N16, N18, N22, N25, N28)
Una "transición" significa "encontrar el siguiente número más alto en el conjunto blanco, a la actual". A la inversa para una transición.
Podemos transición dentro del conjunto actual o a los "otros".
El ejercicio es:
- Inicio en la dirección "arriba", en el nodo más bajo en el grupo a y de N transiciones en conjunto Un
- Si en cualquier momento no hay resto de las notas hacia arriba, en dirección inversa
- Habiendo hecho N transiciones en conjunto, la transición en la misma dirección para el conjunto D
- N transiciones en el Conjunto D, luego de transición para establecer Un
... repita hasta que todas las transiciones se han hecho.
La pregunta es: ¿qué características de los conjuntos (a y D) determinar si usted va a tomar cada posible transición?
(y así llegamos de nuevo en "el comienzo")
Con N=8, se inicia la secuencia como esta:
start in A : N1, N5, N8, N11, N13, N17, N20, N23,
trans to D : N25, N28, N25, N22, N18, N16, N13, N10,
trans to A : N8, N5, N1, N5, N8, N11 ...
y la pregunta es "¿cómo se hace 'trans X: NY' para todo X en A,D y en los nodos-en-Una-y-D ?""
(Y una sencilla pregunta: "¿alguna vez nos llega de nuevo en el 'trans: N1'?")
Traté de representar gráficamente. Presenté el conjunto inicial de 30 notas, ilustra a continuación, los subconjuntos a y D. Entonces me llamó en todas las transiciones posibles.
Al hacerlo, descubrí que los conjuntos específicos (a y D) el ejercicio tiene algunas propiedades interesantes: tienen algunos nodos en común, que se traducen en una forma de transiciones, que me han puesto de relieve.
(Edit: eliminada explicación detallada de cómo me simulado esto para guitarra - creo que fue una distracción).
Escribí una simulación de este. Cuando lo ejecuto para N=3, lo que yo veo es que me pongo de nuevo al principio y por lo tanto va a repetir de aquí, pero no todas las transiciones estaba cubierto.
A:N1 -> A:N5 -> A:N8 -> D:N10 -> D:N13 -> D:N16 -> A:N17 -> A:N20 -> A:N23 ->
D:N25 -> D:N28 -> D:N25 -> A:N23 -> A:N20 -> A:N17 -> D:N16 -> D:N13 ->
D:N10 -> A:N8 -> A:N5 -> A:N1 -> D:N4 -> D:N6 -> D:N10 -> A:N11 -> A:N13 -> A:N17 ->
D:N18 -> D:N22 -> D:N25 -> A:N29 -> A:N25 -> A:N23 -> D:N22 -> D:N18 -> D:N16 ->
A:N13 -> A:N11 -> A:N8 -> D:N6 -> D:N4 -> D:N1 -> A:N5 -> A:N8 -> A:N11 ->
D:N13 -> D:N16 -> D:N18 -> A:N20 -> A:N23 -> A:N25 -> D:N28 -> D:N25 -> D:N22 ->
A:N20 -> A:N17 -> A:N13 -> D:N10 -> D:N6 -> D:N4 -> A:N1
La falta dos que esta secuencia no transición son:N25 y D:N1.
Con N=8 la secuencia es mucho más largo, antes de que se repita, pero también "peor". Peor en el sentido de que no llegue de vuelta en el comienzo antes de repetir, y sale más "agujeros".
¿Hay alguna manera de ver esto, o representar el problema, de tal manera que se podría deducir de este resultado sin simular?
Actualización : para aquellos que pueden relacionarse mejor con la notación musical, aquí están las cifras en la notación musical.
El arpegio:
El arpegio D
La simulación de N=3 ejecución del ejercicio - 3 notas por compás, alternando A7 arpegio y D7 arpegio (tenga en cuenta que el generador no llevar a alteraciones sobre bares):
