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Diferentes nociones de compatibilidad local y por qué están implicadas en la compacidad

Existen varias definiciones de compacidad local, desde

  1. "cada punto tiene una vecindad compacta",
  2. "cada punto tiene una base de barrios compactos" a la de Hatcher:
  3. "cada barrio contiene un barrio compacto".

Es fácil ver que lo segundo implica lo tercero y viceversa. No veo por qué la primera (+Hausdorff) es equivalente a ellas. Me gustaría saber por qué la compacidad (asumiendo Hausdorff) implica la compacidad local (definida por 3.) y la implicación 1=>2&3 parece útil aquí ;)

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NARKOZ Puntos 538

Seguiremos el esquema de Stefan H. (ver comentarios) - demostraremos que un espacio Hausdorff $X$ satisface 1. satisface 3.

En primer lugar, demostremos que un espacio de Hausdorff $X$ que satisface 1. es regular, es decir, cualquier conjunto cerrado $C$ y un punto externo $p$ se pueden separar por barrios.

Consideremos un barrio compacto $U$ de $p$ . Es un hecho bien conocido que un conjunto cerrado y un punto (incluso otro conjunto cerrado disjunto) pueden estar separados por vecindades en un espacio compacto de Hausdorff, por lo que existen vecindades disjuntas (en $U$ ) $D$ de $C\cap U$ y $V$ de $p$ .

Podemos elegir $V\cap \mathrm{int}U$ como vecina de $p$ en $X$ . Una vecindad disjunta de $C$ es $X\setminus U \cup D$ . Está abierto: $X\setminus U$ es abierto, por lo que sólo tenemos que notar que cualquier punto $d$ de $D$ tiene una vecindad contenida en $X\setminus U \cup D$ - $d$ tiene una vecindad contenida en $D$ abrir en $U$ que es una intersección de alguna vecindad $E$ abrir en $X$ - esa vecindad está obviamente contenida en $X\setminus U \cup D$ .

Ahora un pequeño lema (en realidad no necesitamos la parte "si"):

Un espacio $X$ es regular si cada punto tiene base de vecindades cerradas.

$\Rightarrow$ Basta con demostrar que toda vecindad abierta $U$ de un punto $p\in X$ contiene uno cerrado. $X\setminus U$ está cerrado para poder separarlo de $p$ por conjuntos abiertos $V,W$ respectivamente. $X\setminus V\supseteq W$ es una vecindad cerrada de $p$ contenida en $U$ .

$\Leftarrow$ Consideremos un conjunto cerrado $C$ y $p\notin C$ . Desde $X\setminus C$ está abierto, $p$ tiene una vecindad cerrada $P$ disjunta con $C$ . Los conjuntos abiertos de separación son: $X\setminus P$ y $\mathrm{int} P$ .

Todo lo que necesitamos ahora es notar que desde cualquier vecindad $U$ de $p$ contiene una vecindad cerrada $V$ y la intersección de $V$ con una vecindad compacta W de $p$ (dada por la hipótesis 1.) es compacta, entonces $U$ contiene una vecindad compacta $V\cap W$ .

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