Pregunta Acerca De Dedekind Cortes

Question

Rudin se da la definición de un Dedekind Corte:

Un conjunto de los números racionales se dice que es un corte, si

(I) $\alpha$ contiene al menos uno racional, pero no todos racional;

(II) si $p\in\alpha$ $q<p$ (p racional), a continuación,$q\in\alpha$;

(III) $\alpha$ no contiene más grande racional.

Estoy confundido en cuanto a cómo un conjunto de racionales no puede contener más grande racional, sin embargo, no contienen todos los racionales.

Answer 1

Esto es muy posible. Considere la posibilidad de $\{r \in \mathbb Q \mid r < 0\}$. Supongamos que este conjunto contiene algunas más grande racional $p$. Pero $p$ es negativo, por lo $\frac p2$ también es negativo y superior al de $p$ (es decir, "menos negativa").

Esto puede ser fácilmente adaptado a un argumento que para todos los $q \in \mathbb Q$ el conjunto $L_q = \{r \in \mathbb Q \mid r < q\}$ es un Dedekind corte. Pero no todos ellos como el estándar "$\sqrt2$" ejemplo se muestra.

Answer 2

Lo siento por la respuesta, no puedo comentar, pero como sugerencia: que es la más racional del conjunto de $\alpha = \{p \in \mathbb{Q}: p^2 < 2\}$? Si el conjunto de los reales (sé que esto es un poco de trampa) fue algo como $[-\infty, \sqrt{2}]$, a continuación, en los racionales no contendrá elemento más grande.

Answer 3

$$ \left\{\frac{9}{10}, \frac{99}{100}, \frac{999}{1000}, \frac{9999}{10000},\ldots \right\}$$

Answer 4

Considerar todos los racionales que son estrictamente menor que $0$. Este conjunto no tiene elemento maximal, pero está muy lejos de ser el conjunto de los números racionales.

Answer 5

Hay suficientes ejemplos muestran que, un conjunto que satisface todas las condiciones, no las voy a repetir. Sólo algunas adiciones a las propiedades de ese conjunto:

• Por supuesto que es infinito. Porque como $ \forall p \in \alpha, \, q < p \,\land q\in Q=>\, q \in \alpha $ , y como una propiedad de los números racionales, $ \forall q \in Q, \exists r $ tal que $ r<q \land r \in Q$, entonces el conjunto debe contener cada número racional $q$ tal que $q<r$ si contiene un número $p$, que es: $$p\in \alpha \land q\in Q<p => q \in Q$$

• El significado de no tener mayor racional es que, el conjunto tiene un valor máximo, pero no la contienen; que debe ser un conjunto abierto.

• Por eso $ \alpha = \{p\,| p<a, p \in Q, a \in R\} $ es un gran ejemplo para este tipo de conjunto. También recuerde que si usted elige $a$ como un número irracional, entonces el conjunto $\{b \,| -b \in Q - \alpha \}$ también será un Dedekind Corte, pero si usted elige $a$ como un número racional, entonces, como un conjunto tendría un mayor racional.