En primer lugar es importante entender lo que el uniforme de la continuidad de los medios en un espacio topológico $X$. En toda su generalidad, se necesita una estructura uniforme en $X$ a hablar de la continuidad uniforme, pero atengámonos a un concepto más fácil ; un topológico grupo abelian $X$ es un abelian grupo en el que la operación $+$ es continuo, como una función de $+ : X \times X \to X$ (al $X \times X$ está equipado con la topología producto).
Diciendo que $f : X \to \mathbb R$ es continua en este contexto significa que por cada $\varepsilon > 0$, y para todos los $x \in X$ existe $U_x \subseteq X$ abierto tal que $x - y \in U_x$ implica $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$.
Diciendo que $f : X \to \mathbb R$ es uniformemente continua en este contexto significa que por cada $\varepsilon > 0$ existe $U \subseteq X$ abierto tal que $x - y \in U$ implica $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$, es decir, el conjunto abierto $U$ no depende de $x$ más.
Si tomamos una arbitraria grupo abelian $X$ y dotarla de la topología trivial (todos sus subconjuntos abiertos), entonces, por supuesto, esto convierte a $X$ en topológico, abelian grupo.
Tomar una función arbitraria $f : X \to \mathbb R$. Tomando $U = \{0\}$ (donde $0 \in X$ es el elemento neutro de la suma), podemos ver que $f$ es uniformemente continua, por lo tanto continua. Si el grupo abelian es infinito, la apertura de la tapa que consiste en un singleton para cada punto de no admitir un número finito de subcover. Más formalmente,
$$
X = \bigcup_{x \in X} \{ x \}
$$
es una cubierta abierta de a$X$, que no admite un número finito de subcover porque $X$ no es finito. Por lo tanto, $X$ satisface la propiedad de que cada función $f : X \to \mathbb R$ es continua, sino $X$ no es compacto.
Añadido : Incluso si $X \subseteq \mathbb R^n$ a ponerse en el contexto donde compacto es equivalente a cerrado y acotado, tu supongo que es un error. Tome $n = 1$ y ver que como un subconjunto de $\mathbb R$, $\mathbb Z$ todavía está dotado de la topología discreta, por lo que la prueba anterior se aplica.
Espero que ayude,
