Es $f(x)$ necesariamente un polinomio si $f(f(x))$ es?

Question

Si $g(x)$ es un polinomio, y $$g(x) = f(f(x))\ \forall x\in \mathbb{R}$$

es $f(x)$ necesariamente un polinomio, dado que el $f$ es infinitamente diferenciable? La lectura de esta pregunta me di cuenta de que la respuesta se produce un error si tenemos en cuenta el dominio de la totalidad de la línea real. Me pregunto si la eliminación de la creciente condición permite soluciones que funcionan a través de toda la línea real, sin permitir que para los "raros" funciones como

$$f(x) = \left|x\right|^{\sqrt{2}}$$

por lo tanto, infinitamente diferenciable condición.

El único progreso que he locos en esto es como sigue:

Suponga $g(x)$ tiene el grado $d$ y el coeficiente inicial $a$. Así

$$\lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{ax^d} = 1$$

$$\lim_{x\to\infty} \frac{f(f(x))}{ax^d} = 1$$

Si

$$x^{k-\epsilon} << f(x) << x^{k+\epsilon}\ \forall\ \epsilon>0$$

para algunos $k$ (que creo que tiene que llevar a cabo), entonces

$$x^{k^2-\epsilon} << f(f(x)) << x^{k^2+\epsilon}$$

y por lo tanto $d=k^2$. No creo que esto hace mucho. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

La respuesta es negativa. Deje $f$ ser cualquier involución en $\mathbb{R}$ es decir, cualquier función cuya gráfica es simétrica con respecto a la línea de $y=x$. A continuación, $g(x)=f(f(x)) = x$ es un polinomio, pero no todas las involuciones $f$ son polinomios.

Answer 2

Es posible que $f(x)$ a no ser un polinomio. Por ejemplo, supongamos $\alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser un diffeomorphism, y definir $f_\alpha=\alpha^{-1}\circ h\circ\alpha$ donde $h(x)=-x$. Estas funciones de satisfacer $f_\alpha(f_\alpha(x))=x$, pero no se pueden polinomios para cada posible elección de $\alpha$. De hecho, el aviso de que si $\alpha'=\alpha$ tanto en un intervalo de $(a,b)$ y en el intervalo de $\alpha^{-1}(h(\alpha(a)),h(\alpha(b)))$,$f_\alpha=f_{\alpha'}$$(a,b)$. Usted puede fácilmente tener dos diffeomorphisms $\alpha$ $\alpha'$ que está de acuerdo en esta forma en dos intervalos, pero que están en desacuerdo en otros lugares tal que $f_\alpha$ $f_{\alpha'}$ no son las mismas en todas partes (ya que el uso de bump funciones, que libremente puede variar de un diffeomorphism localmente). De ello se desprende que $f_\alpha$ $f_{\alpha'}$ no puede ser ambos polinomios, ya que un polinomio está determinada por sus valores en un intervalo.

Para ser más explícitos, usted podría tomar $\alpha(x)=x$ y deje $\alpha'(x)=x+\varphi(x)$ donde $\varphi$ es un valor distinto de cero suave de la función en $\mathbb{R}$ con soporte compacto tal que la derivada de $\varphi$ es siempre estrictamente entre el$-1$$1$. A continuación, $f_\alpha(x)=-x$ todos los $x$, e $f_{\alpha'}(x)=-x$ si $x$ $-x$ son no tanto en el apoyo de $\varphi$. Pero si $x$ es tal que $\varphi(x)\neq 0$$f_{\alpha'}(x)=-x-\varphi(x)\neq -x$. Por lo tanto $f_{\alpha'}$ no es un polinomio.