La importancia de la composición de un operador y sus adjuntos

Question

Como he leído en la literatura, me he dado cuenta de que la composición de la $T^*T$ de un operador lineal $T:H\to H$ y su adjunto con frecuencia se convierte en todo tipo de lugares. Soy consciente de que es Hermitian (al menos al $T$ es limitado), que $||Tx||^2=\langle Tx,Tx\rangle=\langle x,T^*Tx\rangle$, y otras cosas básicas como que. Sin embargo, no acabo de "sentir" lo que la noción $T^*T$ realmente es y por qué es tan omnipresente.

Sé que esto puede parecer vaga pero, ¿puede alguien darme una idea general de cómo debería ver $T^*T$? Cuál es la dosis que hacer para un vector y cuáles son sus propiedades importantes?

Estoy particularmente impresionado por el hecho de que $||A||_2^2=\rho(A^*A)$ al $A$ es una matriz que representa una finito dimensionales operador y que $I+T^*T$ es un bijection.

Answer 1

Considerando que es un operador tenemos que su auto adjont yo.e $(T^{*}Tx,y)=(x,T^{*}Ty)$, y por lo tanto diagonalisable si su compacto. Un hecho significativo permitir que esto suceda es que el orthagonal complemento de un vector propio del operador, que es invariante bajo el operador, al menos en espacios de Hilbert. Por lo tanto una vez que demostrar que no es un vector propio que inductivamente obtener un conjunto completo de vectores propios.

$I+T^{*}T$ , en el caso de $T$ es compacto índice $0$ por lo tanto da inyectividad iff. surjectivity tipo de simular el teorema fundamental om álgebra lineal.