Convexa de la función se puede escribir como supremum de algunos afín a las funciones de

Question

Deje $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función convexa. Demostrar que $\phi$ puede ser escrito como el supremum de algunos afín a las funciones de $\alpha$, en el sentido de que $\phi(x) = \sup_\alpha \alpha(x)$ por cada $x$, donde cada una de las $\alpha$ está definido por$$\alpha: x \mapsto a_\alpha x + b_\alpha$$for some $a_\alpha$ and $b_\alpha$.

Mi progreso es como sigue. Puedo demostrar que si $\phi$ es convexo y $x \in \mathbb{R}$, existe un número real $c$ tal que$$\phi(y) \ge \phi(x) + c(y - x)$$for all $y \in \mathbb{R}$.

Pero estoy en una pérdida sobre cómo continuar, cómo terminar. Podría aybody ayuda?

Answer 1

Si $\phi$ es convexa, para cada punto de $(\alpha, \phi(\alpha))$, existe una función afín $f_\alpha(x) = a_\alpha x + b_\alpha$ tal que

• la línea de $L_\alpha$ correspondiente a $f_\alpha$ pasa a través de $(\alpha, \phi(\alpha))$;

• el gráfico de $\phi$ se encuentra por encima de $L_\alpha$.

Deje $A = \{f_\alpha: \alpha \in \mathbb{R}\}$ ser el conjunto de todas esas funciones. Tenemos

• $\sup_{f_\alpha \in A} f_\alpha(x) \geq f_x(x) = \phi(x)$ porque $f_x$ pasa a través de $(x, \phi(x))$;

• $\sup_{f_\alpha \in A} f_\alpha(x) \leq \phi(x)$ porque todos los $f_\alpha$ se encuentra por debajo de $\phi$.

Llegamos a la conclusión de que $\sup_{f_\alpha \in A} f_\alpha(x)= \phi(x)$.