Si $f,g$ son polinomios cuadráticos (y $K$ es cualquier campo de carácter no 2), entonces por la fórmula cuadrática el isomorfismo las clases se clasifican por el discriminante "$b^2 - 4ac$" (si $f = ax^2 + bx + c$), modulo plazas. Es decir, el isomorfismo de las clases son en bijection con $K^\times/(K^\times)^2$.
En cualquier otra situación en la que las cosas se vuelven mucho más difícil.
Si $K$$\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}[X]/(f)\cong\mathbb{Q}[X]/(g)$ si y sólo si la acción de $G_\mathbb{Q} := \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ sobre las raíces de la $f$ es isomorfo a la acción de la $G_\mathbb{Q}$ sobre las raíces de la $g$. Es decir, si $X_f,X_g$ denotar los conjuntos de raíces de $f,g$, $\mathbb{Q}[X]/(f)\cong\mathbb{Q}[X]/(g)$ si y sólo si hay un bijection $\phi : X_f\stackrel{\sim}{\rightarrow}X_g$ tal que $\phi(\sigma x) = \sigma\phi(x)$ para todos los $x\in X_f$, $\sigma\in G_\mathbb{Q}$.
Esto es una consecuencia de la Galois de la correspondencia, que dice que la asociación de enviar cualquier extensión finita $L := \mathbb{Q}[X]/(h)$ $\mathbb{Q}$ ($h$ irreductible) a $X_h$ (como un conjunto con $G_\mathbb{Q}$-acción) da una equivalencia de categorías entre la categoría de campo finito extensiones de $\mathbb{Q}$ y la categoría de los conjuntos finitos con un transitiva $G_\mathbb{Q}$-acción.
El resultado se sigue del hecho de que dos finito extensiones de $\mathbb{Q}$ son isomorfos como campos si y sólo si son isomorfos como extensiones de $\mathbb{Q}$ (cualquier abstracto isomorfismo entre ellos deben arreglar su primer subcampos).
El mismo resultado también será verdadera si $K$ es reemplazado por $\mathbb{F}_p$ (a pesar de que esta situación es trivial desde finito extensiones de $\mathbb{F}_p$ se determina únicamente por grado). Con las modificaciones adecuadas, el resultado también es cierto cuando se $K$ es ninguna extensión finita de $\mathbb{Q}$, y con más cuidado, cierto incluso cuando $K$ es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$.
Si $K$ no es una extensión algebraica a través de su primer subcampo, entonces las cosas pueden ser extraño, como nos movemos en el mundo de la aritmética geometría. Por ejemplo, para cualquier campo $k$, se puede establecer $K := k(t)$, $K = K[X]/(X) = k(t)$ es isomorfo a $K[X]/(X^2-t)\cong k(\sqrt{t})$.
Si $K$ es finito $\mathbb{Q}$, entonces, en ciertos casos, también puede ser capaz de utilizar el campo de clase de teoría.
Aunque, debo mencionar que en la práctica es raro que a usted le importa isomorphisms entre los campos (como campo de resumen). En general se le desea restringir el mismo a "agradable" extensiones de una base fija de campo, en el que caso de que un número de las condiciones anteriores puede ser relajado.
