Subespacio denso de $\ell_2$

Question

¿Cómo puedo demostrar que el subespacio $\{x\in \ell_2 \mid \sum_{n=1} ^\infty x_n \frac 1{\sqrt n}=0\}$ es denso en $\ell_2$ ?

¿Se puede hacer con herramientas "sencillas" simplemente utilizando la definición de un subespacio denso? o se puede hacer utilizando el hecho de que $\ell_2$ es un espacio de Hilbert?

Answer 1

Para $2 \leqslant k \leqslant m$ , dejemos que

$$f_{k,m} = \sum_{n = k}^{m} \frac{1}{\sqrt{n}\,\log n}\cdot e_n,$$

donde $e_n$ es la secuencia con $e_n(i) = 0$ si $i\neq n$ y $e_n(n) = 1$ .

Tenemos

$$\lVert f_{k,m}\rVert^2 \leqslant \sum_{n = k}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^2} \xrightarrow{k\to\infty} 0,$$

y

$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n = k}^m \frac{1}{\sqrt{n}\,\log n}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = +\infty.$$

Dejemos que $n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ . Demostraremos que $e_n$ pertenece al cierre del subespacio dado. Por lo tanto, dejemos que $\varepsilon > 0$ . Elija $k > n$ tal que $\lVert f_{k,m}\rVert < \varepsilon$ para todos $m \geqslant k$ . A continuación, elija $m \geqslant k$ tal que

$$s(k,m) := \sum_{r = k}^m \frac{1}{r\log r} > \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Entonces

$$e_n - \frac{1}{s(k,m)\sqrt{n}} f_{k,m}$$

pertenece al subespacio, y

$$\biggl\lVert \frac{1}{s(k,m)\sqrt{n}}f_{k,m}\biggr\rVert < \frac{\varepsilon}{s(k,m)\sqrt{n}} < \varepsilon.$$

Dado que el subespacio abarcado por el $e_n$ es denso en $\ell_2$ la afirmación es la siguiente.

Answer 2

Observemos que su conjunto $V$ es en realidad un subespacio vectorial. Basta con demostrar que $V$ separa los puntos , es decir si para todo $f\in V$ y algunos $x\in \ell_2$ tenemos $\langle f,x\rangle = 0$ entonces $x=0$ .

Argumentamos por contraposición. Tomemos $x\in \ell_2$ y supongamos que $x\neq 0$ . Entonces $x_k\neq 0$ para algunos $k$ . Sea $f$ sea tal que $f_k = 1$ para algunos $m\neq k$ , $$f_{m}=-\frac{1}{\sqrt k}\cdot\sqrt{m+1}$$ tal que $-\sqrt{m+1} \cdot x_m \neq 1$ y $f_n=0$ de lo contrario. Esto es posible ya que la secuencia $(1/\sqrt{k+1})_{k=1}^\infty$ no está en $\ell_2$ . Entonces $f\in V$ y $\langle f,x\rangle\neq 0$ .