Polinomio mínimo

Question

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden $n$ sobre el campo $F$ . Sea $A$ sea una matriz cuadrada fija de $n$ y que $T$ sea un operador lineal sobre $V$ tal que $T(B) = AB$ . Demuestre que el polinomio mínimo para $T$ es el polinomio mínimo para $A$ .

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Tienes que demostrar que cada polinomio que mata $A$ mata a $T$ . Pero entonces para demostrar la minimalidad, hay que demostrar que todo polinomio que no mate $A$ no consigue matar $T$ .

$$f(A)=0$$

$$f(T)B = \left(\sum_{k=0}^n c_k T^k \right)B = \sum_{k=0}^n c_k (T^k B).\tag1$$

$$ T^k(B) = T^{k-1}(T(B)) = T^{k-1}(AB) = T^{k-2} (A(AB)) = T^{k-2} (AA(B)) = \cdots. $$ En otras palabras, demostrar por inducción en $k$ que $T^k (B) = A^k B$ y luego aplicar $(1)$ .

Eso debería sugerir cómo hacer la otra parte.

Answer 2

Este contenido se supone que es una "Pregunta de verificación de prueba". Pensé en publicar esto como una pregunta, pero luego me di cuenta de que hay una página que tiene la misma pregunta. Así que pensé en hacer esto como una "respuesta parcial" y pedir ayuda en lugar de obtener una "etiqueta de pregunta duplicada"

Tengo $V$ - espacio vectorial de todos los $n\times n$ matrices sobre un campo $F$ y que $A$ sea una matriz fija en $V$ .

Definir $T : V\rightarrow V$ como $T(B)=AB$

La cuestión es demostrar que el polinomio mínimo de $T$ y $A$ son iguales.

Supongamos que $f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i $ sea el polinomio característico de $T$

es decir, $\sum_{i=0}^n a_i T^i=0$ es decir, $\sum_{i=0}^n a_i T^i(B)=0$ para todos $B\in V$

en particular, $\sum_{i=0}^n a_i T^i(I)=0$

Ahora, $T(I)=A$ y $T^2(I)=T(T(I))=T(A)=AA=A^2$ por razones similares, $T^n(I)=A^n$

Por lo tanto, tenemos $\sum_{i=0}^n a_i T^i(I)=0$ implica $\sum_{i=0}^n a_i A^i=0$ .

Así que, $f(x)$ es el polinomio característico de $A$

Supongamos que $f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i $ sea el polinomio característico de $A$

es decir, $\sum_{i=0}^n a_i A^i=0$ pero, $T^i(I)=A^i$ Así que, $\sum_{i=0}^n a_i T^i(I)=0$ es decir, $(\sum_{i=0}^n a_i T^i)(I)=0$

multiplicando por un número arbitrario de $B\in V$ obtenemos $(\sum_{i=0}^n a_i T^i)(I)(B)=0.B=0$ es decir, $(\sum_{i=0}^n a_i T^i)(B)=0$ para todos $B\in V$ Así, $f(x)$ es el polinomio característico de $T$

Así, concluimos que los polinomios característicos de $T$ y $A$ son iguales.

No entendí cómo proceder para demostrar que sus polinomios mínimos son iguales.

Answer 3

Al comprobar inmediatamente que $T^k(B)=A^k\cdot B$ para todos $k$ y $B$ y, por tanto, por linealidad $P[T](B)=P[A]\cdot B$ para todos los polinomios $~P$ .

Ahora bien, si $P[A]=0$ entonces para todos $B$ uno tiene $P[T](B)=P[A]\cdot B=0\cdot B=0$ por lo que todo polinomio que aniquila $A$ aniquila $T$ . Por el contrario, si $P[T](B)=0$ para todos $B$ luego tomar $B=I$ da $0=P[T](I)=P[A]\cdot I=P[A]$ así que todo polinomio que aniquila $T$ aniquila $A$ . Por lo tanto, sus polinomios mínimos son los mismos.

Answer 4

Dejemos que $T$ sea un operador lineal(o una matriz $A$ sobre el campo $\mathbb{F}$ ) en un espacio vectorial $V(\mathbb{F})$ entonces el polinomio mínimo de $T$ (o de matriz $A$ ) es el generador mónico del P.I.D. $$\{p(x)\in\mathbb{F}[x]:p(T)=0\}$$ Ahora sólo hay que mostrar que $$\{p(x)\in\mathbb{F}[x]:p(T)=0\}=\{p(x)\in\mathbb{F}[x]:p(A)=0\}$$ Para que tengan los mismos generadores mónicos, es decir, los mismos polinomios mínimos.