¿Podemos, de alguna manera, cuantificar la medida de la no diferenciabilidad de funciones que son continuas en todas partes pero no diferenciables en ninguna parte?

Question

No estoy seguro de cómo hacer esta pregunta porque me parece que mis pensamientos sobre este tema no están lo suficientemente claros, pero lo intentaré.

¿Qué es realmente lo que quiero saber?

Bueno, me gustaría saber si hay alguna "medida" sobre qué tan "lejos" está una función de ser diferenciable en algún punto.

En otras palabras, y con suerte, más precisas:

Supongamos que $f$ es alguna función que es continua en cada punto de su dominio y no es diferenciable en ningún lugar. ¿Existe alguna forma de asignar a cada punto de dicha función un número que mida "qué tan lejos está la función de ser diferenciable" en ese punto, o "qué tan no diferenciable" es la función en ese punto?

Me gusta creer que algunos de ustedes realmente comprenden el espíritu de la pregunta y de qué se trata todo esto, aunque en este momento no sé cómo expresarlo más correctamente y con más rigor.

Answer 1

Bueno, recuerda que la derivada de $f$ en $c$ es simplemente el límite de los cocientes de diferencia $$D_c^f(h)={f(c+h)-f(c)\over h}$$ a medida que $h$ tiende a cero (esta notación no es estándar). Si el límite $\lim_{h\rightarrow 0}D_c^f(h)$ no existe, es porque $D_c^f$ se comporta "frenéticamente" alrededor de $h=0$. Entonces, una cosa que podemos hacer es preguntar: ¿qué tan frenético es el comportamiento del cociente de diferencia cerca de $h=0$? Hay algunas formas en las que podríamos formalizar esto, pero la más inmediata (al menos para mí) es:

Digamos que la freneticidad de $f$ en $c$ es $$wild_f(c)=\lim_{k\rightarrow 0}(\sup\{\vert D_c^f(h_0)-D_c^f(h_1)\vert: 0<\vert h_0\vert, \vert h_1\vert

Esta freneticidad está midiendo qué tan mal los cocientes de diferencia de $f$ fallan en converger a medida que hacemos que $h$ se acerque a $0$. Entonces, la freneticidad general de $f$ podría ser $\sup\{wild_f(c): c\in dom(f)\}$.

Como un buen ejercicio, para cualquier $\epsilon>0$ puedes encontrar una función $f$ que en ningún lugar sea diferenciable, pero tal que $wild_f(c)<\epsilon$ para cada $c\in\mathbb{R}$. También puedes encontrar una función $f$ tal que para cada $c\in\mathbb{R}$, $wild_f(c)=\infty.

No estoy seguro de que esto sea útil para algo en realidad, pero es una definición que parece capturar tu pregunta intuitiva, y que tiene sentido y es no trivial.

Answer 2

Podrías considerar las funciones Hölder continuas: Cuanto mayor sea el orden Hölder $\alpha\in [0,1]$ de una función continua, más regular será la función. El problema con esta idea es que para $\alpha=1$ no obtendrás una función diferenciable, sino solo una función Lipschitz continua, y hasta donde yo sé no hay manera de parametrizar el paso adicional de Lipschitz a diferenciable. Sin embargo, es cierto que por el teorema de Rademacher, las funciones Lipschitz continuas son diferenciables casi en todas partes, por lo que la teoría de Hölder puede ayudar si relajas tu requisito y te conformas con caracterizar la diferenciabilidad "global" en lugar de la diferenciabilidad en un punto dado.

Answer 3

Mi débil memoria parece recordar una discusión en algún lugar que concluyó que casi todas las funciones continuas se comportan "mal", es decir, no tienen derivadas en ningún lugar.

Vagamente recuerdo que se mencionaba la "categoría de Baire", u otros términos de teoría de la medida que realmente no entiendo.

Esto probablemente debería ser un comentario, pero, como de alguna manera responde a la pregunta, aunque no del todo, lo estoy convirtiendo en una respuesta.