Un funcional de la ecuación sin solución

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$ ser una función derivable de satisfacciones $$f(f(x))=f^\prime(x)$$ for each $x$. No muestran tal función existe.

Tengo este problema en un examen. Yo no he hecho nada significativo con ella. He encontrado que $f^\prime=f\circ f>0$ $f(f(x))>f(0)$ por lo tanto, tenemos $f^\prime(x)>f(0)$. Pero no tengo idea de cómo usarlo. Traté de aplicar la media teorema del valor en $$\frac{f(f(x))-f(0)}{f(x)}=f^\prime(c)=\frac{f^\prime(x)-f(0)}{f(x)}$$ , pero que no llevan a ninguna parte. Alguien me puede ayudar? Muchas gracias.

Answer 1

Como dices, si hay un $f$, $f'(x) > f(0) > 0$ todos los $x$. Ahora podemos usar que el límite inferior de la derivada para demostrar que $f$ debe ser negativo para suficientemente grande, negativo $x$:

Deje $x < 0$. A continuación, por el MVT, existe un $c \in (x, 0)$ tal que $$\frac{f(0) - f(x)}{-x} = f'(c) > f(0)$$

Por lo tanto $f(0) - f(x) > f(0)(-x) \ \ \ $ o $\ \ \ \ f(x) - f(0) < f(0)x$.

Así, por $x < -1$,

$$f(x) < (x+1)f(0) < 0$$ contradiciendo la hipótesis de que la $f(x)$ es siempre positivo.

Answer 2

VÉANSE LOS COMENTARIOS - ESTO ES INCORRECTA (INTENTO DE) UN SOLN.

integrar de $-x$ $x$positivo $x$: $$\int_{-x}^x f(f(t))dt = \int_{-x}^x f'(t)dt = f(x) - f(-x)$$ por el Fondo. Thm. de Calc.

Ahora divida por $2x$ y deje $x$ disminución $0$.

El lado izquierdo da
$$\lim \frac{\int_{-x}^x f(f(t))dt}{2x} = f(f(0))$$ (por Lebesgue del teorema de la diferenciación)

El lado derecho da $$\lim \frac{f(x) - f(-x)}{2x} = (1/2)\lim \left[ \frac{f(x) - f(0)}{x} - \frac{f(-x) - f(0)}{x} \right] = (1/2)(f'(0)-f'(0))=0.$$

Por lo tanto, tenemos f(f(0))=0. Es una contradicción!