Es un estándar para definir el producto tensor $M\otimes_R N$ $R$- módulos como un objeto universal de bilineal mapas de $M\times N$. Ahora, supongamos que $\mathscr{F}$, $\mathscr{G}$ son poleas de $\mathscr{O}$-los módulos de un espacio topológico $X$. Estoy tratando de dar una definición categórica de $\mathscr{F}\otimes_{\mathscr{O}}\mathscr{G}$ como un objeto en la categoría de poleas en $X$, la satisfacción de algunas universal de los bienes. Presumiblemente se debe comenzar con algún tipo de "bilineal de morfismos" de $\mathscr{F}\times\mathscr{G}$, pero ¿cómo debo definir "bilineal" (o "equilibrado") de morfismos en la categoría de la teoría del lenguaje? (es decir, sin referencia a los elementos de los conjuntos o subconjuntos abiertos de $X$.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estoy bastante cansado, como yo normalmente hubiera estado dormido por más de una hora por ahora, pero voy a tomar una puñalada en el este. Necesitamos, básicamente, el uso de $\mathscr{O}$-bilineal morfismos(no he definido y no! No públicamente de todos modos...), y que por desgracia utilizar conjuntos en esto. La verdad creo que no hay una forma de evitar esto, ya que no es conveniente definición categórica de que el producto tensor para los módulos. El producto tensor sin duda tiene uno de álgebras, pero este no es el caso que nos interesa aquí.
Por lo que este debe de tener algún tipo de propiedad(a partir de la presheaf producto tensor) que cualquier $\mathscr{O}$-bilineal natural de transformación de la presheaf de conjuntos de $\mathscr{F}\times \mathscr{G}$ a un presheaf $\mathscr{H}$ si el factor a través de(a través de la 'natural' de proyección) la presheaf producto tensor $\mathscr{F}\otimes_\mathscr{O} \mathscr{G}$. Al $\mathscr{H}$ es una gavilla, factores a través de la sheafification de la presheaf producto tensor(por la propiedad de sheafification!) así que solo tenemos que mostrar esta característica universal para presheaves. Vemos primero que $\mathscr{F}\otimes \mathscr{G}: U \mapsto \mathscr{F}(U)\otimes_{\mathscr{O}(U)} \mathscr{G}(U)$ por lo menos le da un abelian la estructura del grupo, y la restricción de morfismos el envío de $\rho_\mathscr{F} \otimes \rho_\mathscr{G}: f\otimes g \mapsto (\rho_\mathscr{F})\otimes(\rho_\mathscr{G})$ da un compatibles $\mathscr{O}$-estructura del módulo.
Ahora supongamos que tenemos un $\mathscr{O}$-bilineal transformación natural de presheaves de$\mathscr{F} \times \mathscr{G}$$\mathscr{H}$. En particular, para cada una de las $U$ obtenemos un bilineal mapa de$\mathscr{F}(U) \times \mathscr{G}(U)$$\mathscr{H}(U)$, por lo que tenemos un morfismos $\mathscr{F}(U)\otimes\mathscr{G}(U) \rightarrow \mathscr{H}(U)$. La conmutatividad de la bilineal transformación natural diagrama de garantías de que esto es una transformación natural de functors, es decir, un morfismos de presheaves.
De nuevo, si estamos trabajando en la categoría de poleas, a continuación, el sheafification de esta construcción tendrá la característica universal.
