Me llegó a través de los siguientes problemas acerca de p-ádico normas:
Problema. Mostrar que $$\prod_{p} |x|_p = \frac{1}{|x|}$$ where the product is taken over all primes $p = 2,3,5, \dots$ and $x \in \mathbb{Q}$.
Tenemos las siguientes: $|x|_2 = 2^{-\max \{r: 2^{r}|x \}}$, $|x|_3 = 3^{-\max \{r: 3^{r}|x \}}, \ \dots$ de modo que $$\prod_{p} |x|_p = \frac{1}{2^{\max \{r: 2^{r}|x \}}} \cdot \frac{1}{3^{\max \{r: 3^{r}|x \}}} \cdots$$
Entonces, parece que por el Teorema Fundamental de la Aritmética el resultado de la siguiente manera. Es esta la mejor idea?
Problema. Si $x \in \mathbb{Q}$ $|x|_p \leq 1$ por cada prime $p$, muestran que $x \in \mathbb{Z}$.
Sabemos que $$\prod_{p} |x|_p = \frac{1}{|x|} \leq 1$$
A continuación, supongamos por contradicción que $x \notin \mathbb{Z}$? O tal vez el producto es un valor nulo de la secuencia?
Añadido. Supongamos $x \notin \mathbb{Z}, \ x \in \mathbb{Q}$. A continuación, $x = \frac{r}{s}$ donde al menos uno de los prime $p$ divide $s$. A continuación,$\text{ord}_{p} x = \text{ord}_{p} r- \text{ord}_{p} s$. Por lo $$|x|_{p} = p^{-\text{ord} _{p} x} = p^{ \text{ord}_{p} s- \text{ord}_{p} r}$$
$$= \frac{p^{\text{ord}_{p} s}}{p^{\text{ord}_{p} r}} > 1$$
que es una contradicción?
