Reflexión de la onda y el extremo abierto de la condición de límite de la intuición

Question

Necesito entender de una aparentemente simple cosa en la mecánica ondulatoria, por lo que cualquier ayuda es muy apreciada!

Cuando un pulso en una cuerda, viaja a la derecha hacia un final abierto(como un anillo de masa que está libre de oscilar sólo en la dirección vertical), entonces cuando la ola llega a la final de ella se refleja y se convierte en un pulso positivo de viajar a la izquierda. Por lo tanto, mi primera pregunta es, por qué debemos reflexión en este caso(en cuanto a la energía y las fuerzas de ir)? ¿Cuál es la causa en términos físicos(intuitivamente)? ¿Y por qué por un extremo abierto de la onda reflejada es una onda positiva y por qué de un extremo cerrado el reflejo de la onda es una onda negativa? Una explicación utilizando la tensión de la cuerda y energías será muy apreciada.

También, por el extremo abierto del caso, la masa anillo tiene una amplitud de dos veces la amplitud de la onda incidente, mientras que la onda se refleja. ¿Por qué es este el caso? (o para decirlo de manera diferente, por qué la relación de la amplitud de la onda transmitida dividido por la amplitud de la onda incidente igual a +2?).

Gracias!

ΝΟΤΕ: quiero una explicación utilizando las fuerzas o la energía y no de la imagen "olas"

Answer 1

De fondo

Deje $\tau$ ser la tensión y $\mu$ ser un lineal de la densidad de masa (es decir, la masa por unidad de longitud), entonces la ecuación de onda de una cuerda está dada por: $$ \partial_{tt} \psi \left(x,t\right) - \frac{ \tau }{ \mu } \partial_{xx} \psi \left(x,t\right) = 0 $$ donde $\partial_{jj} \equiv \partial^{2}/\partial j^{2}$ $\psi \left(x,t\right)$ es una solución general de esta ecuación, llamada ecuación de onda.

Esto tiene una sencilla solución de la forma: $$ \psi \left(x,t\right) = \ e^{i \left( \pm \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \pm \omega t \right)} $$ donde $A$ es cierta amplitud y la velocidad de fase de la onda está dada por: $$ \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu }} \equiv C $$

Queremos encontrar las soluciones de la forma $f\left( x - C \ t \right)$, pero esto sólo funciona para los no-dispersiva de las ondas y no trabajar para no lineal de ondas. En otras palabras, la solución se aplica cuando la ola de la velocidad de fase es $C$ = constante.

Reflexión y Transmisión

En primer lugar, asumir $\tau$ es uniforme a través de toda la cadena para evitar los no deseados de aceleración. A continuación, vamos a definir una forma general: $$ \psi_{j} \left(x,t\right) = f_{j} \left(x - v_{j} t\right) = f_{j} \left(t - \frac{x}{v_{j}} \right) $$ donde el subcript $j$ = $i$ por el incidente, $r$ reflejada, y $t$ para transmisión de ondas. Ahora supongamos que hay algún límite en $x$ = 0 y que nuestra cadena tiene diferentes densidades de masa en ambos lados. Vamos a definir $\mu_{1}$ para la Región 1 (-$\infty < x < 0$) y $\mu_{2}$ para la Región 2 ($0 < x < \infty$). Entonces tenemos: $$ v_{1} = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{1} }} \\ v_{2} = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{2} }} $$

Tenga en cuenta que la onda reflejada, $\psi_{r} \left(x,t\right)$, tendrá un negativo $v_{r}$ y por lo tanto un signo positivo en la expresión de $f$. Ya que las olas son lineales, podemos escribir una superposición lineal de dos ondas de la Región 1. Entonces tenemos: $$ \psi_{1} \left(x,t\right) = \psi_{i} \left(x,t\right) + \psi_{r} \left(x,t\right) = f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) \\ \psi_{2} \left(x,t\right) = \psi_{t} \left(x,t\right) = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) $$

Las Condiciones De Contorno

Hay dos condiciones de frontera (BCs) que se deben cumplir:

1. La cadena continua
2. La pendiente de la cuerda es continua

Estos pueden ser escritos matemáticamente como: $$ \psi_{1} \left(0,t\right) = \psi_{2} \left(0,t\ \ derecho) \\ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} = \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} $$ donde estas ecuaciones pueden escribirse en términos de $f_{j}$ (y la integración de la segunda) a buscar: $$ f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \\ v_{2} \left[ \ f_{i} \left(t\right) - f_{r} \left(t\right) \right] = v_{1} f_{t} \left(t\right) $$ Podemos resolver estas dos ecuaciones para $f_{r}$ $f_{t}$ en términos de $f_{i}$ encontrar: $$ f_{r} = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \\ f_{t} = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} $$

Los Coeficientes De/Amplitudes

Podemos ver a partir de las dos últimas ecuaciones que las amplitudes de las reflejada ($R$) y de transmisión ($T$) de la onda está dada por: $$ R = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ \sqrt{ \mu_{1} } - \sqrt{ \mu_{2} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \\ T = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ 2 \ \sqrt{ \mu_{1} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) $$

Masa Del Anillo

Una masa anillo en un extremo de una cadena es tratada como una forma de impedancia. Porque el anillo es de masa, se requiere que la red transversal (es decir, ortogonal a la dirección de propagación de la onda, digamos, a lo largo de la x/dirección horizontal) de la fuerza sea igual a cero. De un número finito de fuerza transversal resultaría en un infinito de aceleración. La única diferencia en este caso es que necesitamos utilizar una aplicación no uniforme de la tensión. Así que simplemente siga los mismos pasos anteriores pero el uso de $\tau_{j}$ Región $j$ y por lo tanto tenemos: $$ \tau_{1} \ \sin{\theta_{1}} = \tau_{2} \ \sin{\theta_{2}} \\ \tau_{1} \ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} = \tau_{2} \ \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} $$ donde los ángulos, $\theta_{j}$, son relativos a la x/dirección horizontal. Podemos definir la impedancia como $Z_{j} = \tau_{j}/v_{j}$, lo que nos permite redefinir la reflexión ($R$) y de transmisión ($T$) de los coeficientes como: $$ R = \left( \frac{ Z_{1} - Z_{2} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \\ T = \left( \frac{ 2 \ Z_{1} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) $$

Límite De Ejemplos

Ahora podemos ofrecer un par de ejemplos útiles:

• Uniforme de la Cadena: $\mu_{1} = \mu_{2}$ o $v_{1} = v_{2}$
  • $R$ = 0 y $T$ = 1
• Sólido(inifinite?) De la pared en $x = 0$: $\mu_{2} \rightarrow \infty$ o $v_{2} = 0$
  • $R$ = -1 y $T$ = 0
• Masa cero de la cadena de $x > 0$: $\mu_{2} \rightarrow 0$ o $v_{2} = \infty$
  • $R$ = 1 y $T$ = 2
• Una cara de la cadena conectada a masa en el anillo de la $x = 0$: $\tau_{2} = 0$ $\rightarrow$ $Z_{2} = 0$
  • $R$ = 1 y $T$ = 2

Answer 2

He encontrado una buena explicación en la red a mi pregunta, así que lo estoy compartiendo sólo en caso de que alguien quiere una respuesta demasiado. Tenga en cuenta que la pregunta acerca de "¿por qué se alcanza el doble de la amplitud", así como un nuevo problema de por qué la respuesta dice que el anillo tiene un momento(porque su masa):

El final de la estacionaria de la cadena, la figura (a), está unido a un anillo que es libre de moverse en la dirección vertical sin fricción en un poste. Un pulso es enviado ahora abajo de la cuerda en la figura (b). Vamos a considerar las fuerzas que actúan sobre la cadena que provienen del pulso, es decir, vamos a ignorar las fuerzas gravitacionales en la cadena. Las flechas arriba y abajo en el pulso representan a las fuerzas hacia arriba y hacia abajo, respectivamente, en las partículas de la cuerda. El pulso se propaga a la derecha en la figura (c) y alcanza el anillo en la figura (d). La fuerza hacia arriba que ha sido la propagación de la derecha, hace que el anillo en el extremo de la cuerda se mueven hacia arriba. El anillo que ahora se eleva a la altura del pulso como el centro de el pulso llega al ring, en la figura (e). Aunque no hay ninguna fuerza adicional hacia arriba el anillo, el anillo continúa moviéndose hacia arriba a causa de su inercia. También podemos considerar esto desde el punto de vista energético. En la ubicación de la parte superior del pulso, el anillo tiene una energía cinética hacia arriba. El anillo continúa hacia arriba hasta que esta energía cinética se pierde. Como el anillo se mueve hacia arriba ahora tira de la cadena, finalmente, la superación de las fuerzas hacia abajo en la parte trasera del pulso, hasta que la cadena a la izquierda de el anillo tiene una fuerza neta hacia arriba que actúa sobre él, la figura (f). Esta fuerza hacia arriba, ahora se propaga a lo largo de la cadena a la izquierda, tirando de cada uno de los adyacentes de partículas a la izquierda hacia arriba. Debido a que el anillo tira hacia arriba en la cadena, por la tercera ley de Newton la cadena también empuja hacia abajo sobre el anillo y el anillo con el tiempo comienza hacia abajo, la figura (g). Como el anillo se mueve hacia abajo que ejerce una fuerza hacia abajo en la cadena, como se muestra por las flechas en la figura (h). Las fuerzas hacia arriba y hacia abajo se propaguen a la izquierda a medida que el pulso se muestra en la figura (i). El resultado neto de la interacción de el pulso a la derecha con el anillo móvil es una refleja el pulso de la misma forma y tamaño que ahora se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad de propagación. El pulso de entrada fue el lado derecho hacia arriba, y la refleja el pulso es también el lado derecho hacia arriba. El anillo móvil al final de la cadena de actos como la mano, moviéndose hacia arriba y hacia abajo para crear el pulso.

Nota: la mejor manera de entender este comportamiento es considerar el caso más sencillo de sólo "la mitad de pulso". Generar un pulso con sólo pasar la cuerda hacia arriba en una cierta posición y dejar que este se propagan hacia el extremo libre (ver su comportamiento), entonces en algún momento posterior a traer el hilo hacia abajo a su posición inicial. Esto será como un pulso muy largo, sin embargo usted puede ver lo que pasa por la adición de las fuerzas en cada parte de el pulso después de sus respectivas reflexiones desde el extremo libre.

También, aquí es una simulación de lo que puede hacer muy largo el pulso y ver todas estas cosas en acción.
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html

Answer 3

Esta pregunta es muy amplia, así que voy a intentar responder sólo sus partes.

Por qué debemos reflexión? La impedancia de la cadena es la clave. La onda en la cuerda alcanza el punto con una impedancia de discontinuidad y, por tanto, la reflexión se produce. En su caso no es el reflejo de "impedancia cero límites". El opuesto ejemplo de libro de texto es el reflejo de "infinito impedancia de la frontera". Por supuesto, hay casos en los entre, por ejemplo, (muy teórico), la terminación de la cadena en un pistón con la misma impedancia como una cadena. Ola en la cadena sigue siendo, pues, "de viaje".

La intuición en ese caso: Hay una cantidad de energía en la cadena dividido entre el desplazamiento (es decir, la energía cinética) y la tensión (es decir, la energía potencial). En la propuesta de independiente final no hay un factor que podría causar un aumento de tensión y por lo tanto (de conservación de la energía) de los resultados de un mayor desplazamiento.

Por qué para un final abierto el reflejo de la onda es una onda positiva y por qué de un extremo cerrado el reflejo de la onda es una onda negativa? Tal vez este counterquestion podría ayudarle a hacer de forma intuitiva: ¿Cuál sería el factor o agente de giro de la amplitud en la dirección opuesta? Para "infinito impedancia de terminación" es algo así como que presente: la impedancia. Pero para "cero impedancia de terminación"...?

¿Por qué el doble de la amplitud durante la reflexión? Trate de modelo (en su mente o numéricamente). Lo que está sucediendo. La onda incidente, pero en el mismo tiempo a reflexionar. Por lo tanto, la suma de ambas ondas y en la infititely pequeño intervalo de tiempo cuando el máximo de aciertos de la frontera, las amplitudes de incidente y la reflexión de las ondas es la misma y la suma, por tanto, es la amplitud máxima de dos veces.

Fuente de recomendación: recomiendo el Ian G. Principal del libro Vibraciones y Ondas en Física por más de la intuición y de una mayor discusión.

Answer 4

Vamos a empezar con la intuición de que ya tiene, para una onda que viaja a lo largo de una cadena continua. El movimiento transversal es un resultado de la tensión de ambos lados: Uno, donde la excitación (o paquete de ondas), está tirando de un pedazo de cuerda en la parte delantera de la ola hacia el exterior, mientras que el otro, donde la ola está a punto de llegar, se resiste a este movimiento todavía está en reposo. Similar pero opuesto a las fuerzas de equilibrio de tal manera que la excitación continúa viajando hacia adelante, dejando a cualquier parte de la cadena en el resto una vez que pasa esa pieza.

Si se quita el lado en el que viaja la onda a, se obtiene una mayor amplitud debido a este medio, de lo contrario, resistiendo el movimiento transversal, está ausente. La otra mitad, de donde la ola paquete ha llegado, por lo tanto, obtener sacó más, más de lo que sería suficiente para simplemente terminar su movimiento después de que el paquete de ondas pasa si estuviera en el medio de la cadena. Así que tienes una nueva excitación en el que el final de la cadena está actuando sobre los bits de la misma cadena: Hay una nueva onda que viaja de vuelta.

Si te das cuenta de que una perfecta cadena de tales ondas perfectamente elástica y, por tanto, conservar la energía mecánica, que también se puede argumentar que la energía transportada por la onda de paquetes ha de seguir existiendo en alguna forma. El momento estiradas y abiertas, cadena será, naturalmente, el retroceso, la cual constituye una nueva ola (o, si se quiere, el viejo se refleja).