¿Por qué la reducción de la masa ayuda cuando se habla de dos problemas corporales?

Question

En primer lugar, me gustaría decir que, a pesar de que usted puede estar pensando que esta es una pregunta de física y probablemente debería hacerse en esa parte del sitio web, me encontré con la masa reducida por primera vez en la Química - física e inorgánica - y se utiliza mucho en la Química por lo que pensé que era adecuado para esta parte del sitio.

Dicho esto, paso a detallar mi pregunta. Oigo decir a la gente que la masa reducida , $\mu$ se utiliza para dos problemas corporales, pero ¿qué tipo de problemas? ¿Es para que el sistema de dos cuerpos pueda ser tratado como un solo cuerpo o es para simplificar los cálculos relativos a cómo actúan los dos cuerpos entre sí?

Puedo seguir la derivación (que repasaré en breve) en un sentido matemático, pero me parece que puedo captar las ideas de por qué se dieron los pasos.

Derivación:

Paso [1] - De las leyes del movimiento de Newton: $$F_{12}=-F_{21}$$ De ello se desprende que: $$m_1a_1=-m_2a_2$$ Paso [2] - Una simple reordenación del resultado del paso 1 para hacer $a_1$ el tema (parece algo razonable pero no sé por qué se hace). $$a_1=-\frac{m_2}{m_1}a_2$$ Paso [3] - La aceleración relativa, $a_{rel}$ se puede encontrar restando la aceleración de un cuerpo del otro (entiendo cómo se hace esto y entiendo que daría la aceleración relativa PERO no sé por qué se necesitaría la aceleración relativa). $$a_{rel}=a_1-a_2=(1+\frac{m_1}{m_2})a_1=\frac{m_2+m_1}{m_1m_2}m_1a_1=\frac{m_2+m_1}{m_1m_2}F_{12}$$ Paso [4] - Según la Wikipedia, el resultado del último paso se puede utilizar así (no tengo ni idea de lo que ocurre en este paso): $$\frac{m_2+m_1}{m_1m_2}F_{12}=\frac{F_{12}}{\mu}$$ Así: $$\mu=\frac{m_1m_2}{m_2+m_1}$$

De nuevo, puedo hacer los cálculos, pero mi problema aquí es conceptual, creo. He incluido la derivación en mi pregunta porque creo que es posible que si usted fuera capaz de arrojar algo de luz sobre por qué se tomaron pasos particulares que esto puede ayudar.

Answer 1

Estás transformando un problema en términos de dos partículas con masas y aceleraciones individuales en un problema con un una sola partícula ficticia . Esto simplifica el problema y permite separar los movimientos relativos y las interacciones de las partículas de la traslación global de su centro de masa.

En el paso 3, necesitas la aceleración relativa $a_{rel}$ porque esa es la aceleración que tiene la única partícula ficticia.

En el paso 4, estás calculando la masa $\mu$ de la partícula ficticia.

Antes, tenías $F_{12} = m_1 a_1$ y $F_{21} = m_2 a_2$ (dos fuerzas, dos masas, dos aceleraciones). Ahora tienes $F_{12} = \mu \ a_{rel}$ (una fuerza, una masa, una aceleración). El precio es que hemos desechado la información sobre la traslación global del sistema a través del espacio; sólo nos fijamos en los movimientos relativos de las dos partículas.

Las coordenadas de la partícula ficticia son coordenadas relativas o internas $$x = x_2-x_1,\quad y = y_2-y_1, \quad z = z_2-z_1$$ Esto es útil porque la energía potencial $V$ de las partículas que interactúan depende sólo de estas coordenadas relativas. El uso de masas reducidas y velocidades y coordenadas relativas separa limpiamente el movimiento interno de la traslación del sistema en su conjunto. La energía clásica del sistema de dos cuerpos será $$E = \left[\frac{1}{2\mu}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+V(x,y,z)\right] + \left[\frac{1}{2M}(p_X^2+p_Y^2+p_Z^2)\right]$$ donde $p_i$ significa impulso para el movimiento a lo largo de la $i$ -coordenadas. El primer término entre paréntesis es la energía de nuestra partícula ficticia con masa $\mu$ . El segundo término es la energía de un segundo partícula ficticia con masa total $M=m_1+m_2$ y coordenadas $X$ , $Y$ y $Z$ situado en el centro de masa del sistema (por ejemplo $X = (m_1x_1 + m_2x_2)/M$ ).

En química, no nos importa el segundo término. Por ejemplo, en un átomo, supondremos que el núcleo está sujeto en su lugar para que podamos observar sólo las interacciones dentro del átomo.

Answer 2

¿pero qué tipo de problemas?

Cuando dos cuerpos se mueven bajo la influencia de sus fuerzas mutuas solamente (que actúan en pares y la fuerza neta sobre el sistema es cero, de modo que el COM (Centro de Masa) permanece en reposo), ¡no hay fuerzas externas! En realidad:

"Cuando dos cuerpos se mueven en movimiento de traslación, rotación o vibración sólo bajo su interacción mutua, entonces para un análisis simplificado, podemos considerar un cuerpo en reposo y analizar el movimiento del otro cuerpo wrt primer cuerpo y cambiar la masa inercial del cuerpo en movimiento a un nuevo valor llamado masa reducida dado como."

¿Es para que el sistema de dos cuerpos pueda tratarse como un solo cuerpo o es para simplificar los cálculos sobre cómo actúan los dos cuerpos entre sí?

Es tal que estamos tratando los parámetros de movimiento de uno fijo (es decir, en reposo y para siempre (hasta que pase algo raro)). Supongamos que viajas en un tren, cuando ves un tren que viene en sentido contrario, parece más rápido ya que cuando lo observas, en tu marco de referencia (es decir, respecto a ti) la velocidad del tren pasa a ser $\vec v_{other-train}-\vec v_{your-train}$ Dado que la velocidad de su tren tiene signo contrario a la velocidad del otro tren, más bien se convierte: $v_1-(-v_2)=v_1+v_2$ y así las velocidades se suman y parecen rápidas. Del mismo modo, en el caso de moverse en la misma dirección, parece lento ya que las velocidades se restan.

Esto suele ayudar porque a veces los problemas se resuelven fácilmente ya que una ecuación siempre se reduce.

Ejemplo de vibración

Supongamos que dos cuerpos están conectados por un resorte y vibran, entonces ambos están en constante movimiento, Si están siguiendo el SHM (Movimiento Armónico Simple), entonces para calcular el período de tiempo tenemos que tener en cuenta a ambos, pero se podría hacer fácilmente si tratamos a uno en reposo y miramos al otro cuerpo mientras está sentado en el cuerpo que deseamos tener en reposo. Eso resulta: $$T=2\pi\sqrt{\frac{\mu}k}=2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}$$

Si lo hiciéramos a la manera tradicional: $$k_1=kl/l_1=kl(m_1+m_2)/(m_2l)\\k_1=k(m_1+m_2)/m_2\\T=2\pi\sqrt{m_1/k_1}=2\pi\sqrt{m_1m_2/(k(m_1+m_2))}$$

Ejemplo de traslación

Intenta averiguar la velocidad de separación entre dos planetas a una distancia $r$ cuando su distancia se reduce a $r/2$ utilizando ambos métodos.

Ejemplo de movimiento de rotación

Trate de encontrar la energía cinética total de dos partículas a una distancia l que giran alrededor de su COM debido a su atracción gravitacional mutua sin ninguna fuerza externa a la velocidad angular $\omega$ por ambos métodos.