¿Ha publicado alguien el procedimiento para generalizar los operadores de escalera para cualquier potencial en la ecuación de Schrodinger?

Question

Sé que el operador de escalera para el oscilador armónico cuántico \begin {align} H \psi_m = \left ( \dfrac {p^2}{2m}+ \dfrac {1}{2}m \omega ^2x^2 \right ) \psi_m =E_m \psi_m \end {align} es \begin {align} A = \sqrt { \dfrac {m \omega }{2 \hbar }} \left (x + \dfrac {i}{m \omega }p \right ) \end {alinear} que baja cualquier estado a su estado anterior, sin embargo estoy en una pérdida en la forma de generalizar el concepto de escaleras para cualquier potencial.

¿Ha publicado alguien el procedimiento para generalizar los operadores de escalera para cualquier potencial en la ecuación de Schrodinger?

Answer 1

No conozco ninguna publicación de este tipo. Sin embargo, esta cuestión puede ser, por un lado, demasiado trivial y, por otro, demasiado alejada de la relevancia práctica. Derivemos lo que se quiere ver:

Un operador de escalera de creación $\hat{a}^\dagger$ para estados arbitrarios tendría que ser de la forma $$\sum_{n=0}^\infty c_n \left| n+1 \right\rangle \left\langle n \right|$$ donde se podría permitir una libertad de elección de coeficientes $c_n$ para intentar cumplir con cualquier característica útil de $\hat{a}^\dagger$ y $\hat{a}$ puede desear, digamos alguna generalización del operador numérico $\hat{a}^\dagger \hat{a}$ . Se puede elegir que sus valores propios sean el número cuántico $n$ o la energía dividida por la diferencia de energía entre el estado básico y el primer estado excitado; cualquiera de estas opciones, y probablemente algunas otras, son generalizaciones sensatas de la situación para el oscilador armónico. De hecho, al elegir $c_n = \sqrt{n+1}$ y un Hamiltoniano de oscilador armónico o, entonces, $\hat{H}=\hbar \, \omega \, \big( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \big)$ En este caso, reproduces las ecuaciones que diste en la pregunta en una notación más simple, abstrayéndote de la representación de la posición y el momento.

En general, $\hat{a}^\dagger$ (posiblemente a través del $c_n$ y ciertamente a través de los estados propios de energía $\left| n \right\rangle$ ) dependerá no sólo de tu elección de lo que quieras del operador numérico, sino también, y de forma crucial, del Hamiltoniano de tu sistema. La forma directa de derivar $\hat{a}^\dagger$ es resolver el Hamiltoniano para los eigenestados de energía-que es el camino que tendrías que seguir para obtener los operadores de escalera a partir de los primeros principios si no fuera porque los libros de texto simplemente te dejan caer una definición, (posiblemente) como la que reprodujiste. Simplemente se insertarían los eigenestados de energía $\left| n \right\rangle$ y formular la restricción para el $c_n$ y resolverlo. El ejemplo más sencillo, porque el $c_n$ entonces no dependen del Hamiltoniano, es la restricción de que el operador número tiene el número cuántico como valores propios: $$\left\langle n \right| \hat{a}^\dagger \hat{a} \left| n \right\rangle = n \qquad \Rightarrow \qquad c_n = \sqrt{n+1}$$

Esto significa que los operadores de escalera para cualquier hamiltoniano específico (no oscilador armónico) no suelen ser útiles para resolver este hamiltoniano, sino, en el mejor de los casos, para reexpresarlo. Un oscilador armónico es un caso raro en el que esto conduce a una simplificación, pero no será el caso en general. El hecho de que, obviamente, no se puedan conservar todas las características útiles, por ejemplo, del operador numérico, limita aún más la utilidad de los operadores de escalera especializados.