$\sum a_n$ ser convergente pero no absolutamente convergente, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0$

Question

Deje $\sum a_n$ ser convergente pero no absolutamente convergente, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0$,$s_k$ denota la suma parcial, a continuación, podría alguien decirme cuál de las siguientes es correcta?

$1.$ $s_k=0$ para una infinidad de $k$

$2$. $s_k>0$ y $<0$ para infnitely muchos $k$

3.$s_k>0$ para todos los $k$

4.$s_k>0$ para todos, pero un número finito de $k$

si tomamos $a_n=(-1)^n{1\over n}$ $\sum a_n$ es convergente pero no absolutamente convergente,pero no sé $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0$? así que estoy desconcertado podría cualquiera me dirá cómo proceder?

Answer 1

Ninguno de ellos es necesariamente cierto.

Podemos fácilmente calcular una serie de sus sumas parciales, así que vamos a especificar el $s_k$.

Definir $$ s_k=\left\{\begin{array}{} -\frac1k&\text{if %#%#% is odd}\\[4pt] -\frac1{k^2}&\text{if %#%#% is even} \end{array}\right. $$ A continuación,$k$$k$, $$ a_k=\left\{\begin{array}{} \frac1{(k-1)^2}-\frac1k&\text{if %#%#% is odd}\\[4pt] \frac1{k-1}-\frac1{k^2}&\text{if %#%#% is even} \end{array}\right. $$ Demostrar que esta serie no es absolutamente convergente, su suma es $a_1=-1$, y éste no cumpla alguna de las condiciones.

Answer 2

Es fácil ver que la primera afirmación es incorrecta. La idea de un contraejemplo, es en 3.

Para la segunda declaración de uso de Riemann, rearrengement teorema, que (si unterstood la prueba) le da la existencia de una serie.

Para la tercera declaración de la construcción $a_k$ tal que $s_k=(-1)^k \cdot \frac{1}{k}$.

El cuarto aspecto en el tercero.

Por otro lado todas las cosas que pueden ser verdad.

Para el primero, vamos a $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser arbitraria null secuencia. Definir $a_n$ a través de \[a_n= \begin{cases} b_k & 2k=n\\ -b_k & 2k+1=n \end{casos} \] Vemos que \[ \sum_{n=0}^\infty a_n = 0\] y además \[\sum_{n=1}^{2N+1} a_n=0\] para cualquier $N\in \mathbb{N}$. Si usted eligió un "lento" suficiente null secuencia no será absoluta convergente.

Para la segunda para ser cierto uso de la serie construida en la primera parte en 3.

Para la tercera parte de hacer algo que una larga de $s_k$$\frac{1}{k}$, y de golpe el resto con $n$ términos con los valores de $\pm \frac{1}{n}$ y deje $n \to \infty$ mientras $k\to \infty$.

El cuarto es resuelto por la tercera.