Supongamos $R=\{A\in GL(n,\mathbb C):A^{-1}=\bar A\}$ donde $\bar A$ es la conjugada de la matriz de $A$. Mostrar que $$b:GL(n,\mathbb C)\to R,\quad A\mapsto A\bar{A}^{-1}$$ a.
No sé por dónde empezar. Es posible construir directamente para cualquier $M\in R$ una matriz de $A$ tal que $b(A)=M$?
(El problema viene a partir de una descripción de totalmente real subespacios de $\mathbb C^n$.)
Respuestas
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Spencer
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cf. http://mathoverflow.net/questions/221340/parameterize-unitary-without-transpose/222121#222121
Se muestra que, si $A\in R$, entonces no es un verdadero matriz $T$ s.t. $A=e^{iT}$. Por lo tanto $b(e^{iT/2})=e^{iT/2}e^{iT/2}=A$.
Chris Ballance
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Aquí está una primaria de la prueba. Esto es suficiente para mostrar que:
Si $C$ es una compleja matriz cuadrada tal que $C\bar{C}=I$, $C=A\bar{A}^{-1}$ para algunos matriz $A$.
Como todos los autovalores de a $C\bar{C}$ son no negativos, $C$ admite un Youla forma normal $C=U^TLU$ donde $U$ es unitaria y $L$ es triangular (cf. corolario 3 de DC Youla, de Una forma normal para una matriz en virtud de la central unitaria de congruencia grupo, Canadá. J. Math. 13, 1961, pp 694-704).
Así, a partir de $C\bar{C}=I$, obtenemos $L\bar{L}=I$. Sin embargo, $L$ es triangular. Por lo tanto, todos sus autovalores tienen unidad de los módulos. Por lo tanto, mediante la absorción de una unidad apropiada de la diagonal de la matriz a $U$, que además puede suponer que todos los autovalores de a $L$ son igual a $1$. De ello se sigue que podemos construir una matriz de la raíz cuadrada de $L$ mediante un real de Hermite de la interpolación polinomial. En otras palabras, podemos recoger $L^{1/2}=p(L)$ para algunos polinomio $p$ con coeficientes reales.
Por lo tanto, $\overline{L^{1/2}} = \overline{p(L)} = p(\bar{L}) = p(L^{-1})$. Desde $L^{-1}$ es un polinomio en a $L$ y a su vez un polinomio en $L^{1/2}$, podemos ver que $\overline{L^{1/2}}$ viajes con $L^{1/2}$. Así, a partir de $L\bar{L}=I$, obtenemos $\left(L^{1/2}\overline{L^{1/2}}\right)^2=I$. Sin embargo, $L^{1/2}\overline{L^{1/2}}$ es una matriz triangular con todas las entradas de la diagonal igual a $1$. Así que debemos tener $L^{1/2}\overline{L^{1/2}}=I$ y a su vez $\overline{L^{1/2}}^{-1}=L^{1/2}$. Ahora defina $A=U^TL^{1/2}$. Entonces $$ Un\bar{A}^{-1}=U^TL^{1/2}\overline{L^{1/2}}^{-1}\overline{U^T}^{-1}=U^UGT=C. $$
