Estoy tratando de entender la aproximación del punto de silla y aplicarla a un problema que tengo pero los tratamientos que he visto en internet son todos muy matemáticos y no me están dando una buena descripción cualitativa del método y por qué se usa y para qué se usa.
Así que mi pregunta es, ¿cómo se utiliza la aproximación del punto de silla de montar en la física? ¿Qué es lo que aproxima? ¿Cuándo se puede utilizar?
En la forma más sencilla, el método del punto de silla se utiliza para aproximar integrales de la forma
$$I \equiv \int_{-\infty}^{\infty} dx\,e^{-f(x)}.$$
La idea es que la función exponencial negativa es tan rápidamente decreciente - $\;e^{-10}$ es $10000$ veces menor que $e^{-1}$ - que sólo tenemos que mirar la contribución desde donde $f(x)$ está al mínimo. Digamos que $f(x)$ está en su mínimo en $x_0$ . Entonces podríamos aproximar $f(x)$ los primeros términos de su expansión de Taylor.
$$f(x) \approx f(x_0) + \frac{1}{2}(x- x_0)^2 f''(x_0) +\cdots.$$
No hay ningún término lineal porque $x_0$ es un mínimo. Esto puede ser una terrible aproximación a $f(x)$ cuando $x$ está lejos de $x_0$ pero si $f(x)$ es significativamente mayor que su valor mínimo en esta región, entonces no importa, ya que la contribución a la integral será despreciable en cualquier caso. En cualquier caso, si introducimos esto en nuestra integral
$$I \approx \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-f(x_0) - \frac{1}{2}(x-x_0)^2 f''(x_0)}= e^{-f(x_0)}\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{-\frac{1}{2}(x-x_0)^2 f''(x_0)}.$$
La integral gaussiana se puede evaluar para obtener
$$I = e^{-f(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{f''(x_0)}}.$$
Entonces, ¿dónde se encuentra esto en la física? Probablemente el primer ejemplo sea la aproximación de Stirling. En la mecánica estadística siempre estamos contando configuraciones de cosas, por lo que obtenemos todo tipo de expresiones que implican $N!$ donde $N$ es un número tremendamente enorme como $10^{23}$ . Hacer manipulaciones analíticas con factoriales no es divertido, así que estaría bien que hubiera alguna expresión más manejable. Bueno, podemos utilizar el hecho de que:
$$N! =\int_0^\infty dx\, e^{-x}x^N = \int_0^\infty dx \exp(-x +N\ln x).$$
Así que ahora puedes aplicar la aproximación del punto de silla con $f(x) = x -N\ln x$ . Puedes calcular el resultado tú mismo. También deberías convencerte de que en este caso la aproximación es cada vez mejor a medida que $N\rightarrow \infty$ . (También hay que cambiar el límite inferior de la integral de $0$ a $-\infty$ .)
Hay muchos otros ejemplos, pero no conozco tus antecedentes, así que es difícil decir qué será una referencia útil. La aproximación de WKB se puede considerar como una aproximación de punto de silla de montar. Un ejemplo común es en la función de partición / integrales de trayectoria donde queremos calcular
$$\mathcal{Z} = \int d\phi_i \exp(-\beta F[\phi_i]),$$
donde el $\phi_i$ son algunas variables locales y $F[\cdot]$ es el funcional de energía libre. Hacemos lo mismo que antes pero ahora con múltiples variables. De nuevo podemos encontrar el conjunto $\{\phi_i^{(0)}\}$ que minimiza $F$ y luego ampliar
$$F[\phi_i] = F[\phi_i^{(0)}] +\frac{1}{2}\sum_{ij}(\phi_i -\phi_i^{(0)})(\phi_j -\phi_j^{(0)})\frac{\partial^2F}{\partial\phi_i\partial\phi_j}.$$
Esto te da la contribución del estado base, tiempos de una teoría gaussiana (libre) que puedes manejar por los medios habituales. Siguiendo las observaciones anteriores, esperamos que esto sea bueno en el límite $\beta\rightarrow \infty$ Aunque su kilometraje puede variar.
Para otro buen ejemplo, véase La derivación de Feynman de la ecuación de Schrodinger, (4.7) . Como nota complementaria terminológica, nunca he oído hablar de una "aproximación al punto de equilibrio" y llegué a esta página buscando algo muy diferente.
BebopButUnsteady ha explicado las matemáticas que hay detrás y yo te proporcionaré algunas referencias que he encontrado útiles y que me gustan bastante y que entran en los detalles matemáticos más técnicos, aunque siguen siendo muy legibles. En ellas se trata de forma más concreta el complejo análisis necesario y cómo elegir correctamente el contorno para no tener divergencias y demás. Se trata de una cuestión bastante técnica que las referencias más elementales tienden a pasar por alto.
Uno de mis favoritos es Métodos matemáticos avanzados de Bender y Orszag . Es una de las referencias canónicas para los matemáticos y físicos aplicados. Tomé un curso de postgrado en teoría de perturbaciones a partir de él y encuentro que su tratamiento es bastante bueno. Es uno de los estándares para un curso de asintótica y huye de demostrar rigurosamente las cosas y te da el nivel adecuado para poder calcular con las técnicas. Una cosa que me gusta de este libro es que los ejercicios son magníficos.
Un libro muy bueno sobre el análisis complejo avanzado es Expansión asintótica de integrales por Bleistein y Handelsman aunque desgraciadamente está descatalogado hasta donde yo sé. Si tiene previsto hacer mucho más de este tipo de matemáticas, le recomiendo encarecidamente que adquiera una copia. Sin embargo, es muy técnico pero entra en todos los detalles sobre el método del descenso más pronunciado y es muy completo.
Un nuevo libro que me gusta es Análisis asintótico aplicado . Este libro es más reciente y no es tan técnico desde el punto de vista matemático como los otros dos, pero tiene buenas imágenes y mucho texto que explica lo que ocurre. Dado que no te interesan tanto los detalles más técnicos, ésta es probablemente la referencia recomendada. La sección sobre los descensos más pronunciados es muy chitón. Todavía no he hecho todos los ejercicios, así que no puedo comentarlos.
Ya que has preguntado dónde puede surgir el descenso más pronunciado, el método de los descensos más pronunciados es una generalización de algunos métodos más elementales (el método de Laplace, por ejemplo) para cubrir casos más generales. Por tanto, puede surgir siempre que se necesite aproximar una integral. Un ejemplo que se me ocurre inmediatamente es un problema estándar de la teoría cuántica de campos elemental. Se trata de evaluar el propagador de Klein-Gordon y se trata en Peskin y Schroeder . Sin embargo, no elaboran explícitamente los detalles, pero utilizan las ideas. Uno de mis colegas, que trabaja en dinámica molecular, escribió un artículo que requería aproximar una integral utilizando los descensos más pronunciados. Así que puede surgir en una variedad de aplicaciones.
Los métodos de punto de inflexión se utilizan en la teoría de antenas, dispersión de radares, propagación de ondas de radio en medios multicapa, etc. Para conocer en profundidad la aplicación de los métodos de punto de silla o de descenso más pronunciado, puede revisar el contenido de L. B. Felsen y N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves.
Al igual que el autor anterior, también me pareció muy útil el libro de Bender y Orszag. Los problemas también son muy interesantes.
Buena suerte.
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Cuidado con la terminología: cuando los físicos hablan de la "aproximación del punto de silla", casi siempre (según mi experiencia) se refieren a lo que los matemáticos llaman " Método de Laplace ", que es diferente y mucho más simple conceptualmente que lo que los matemáticos llaman la "aproximación del punto de silla".