Definición de subconjuntos densos de $\mathbb{R}$

Question

Esta es una cita de Derbyshire "Cantidad desconocida"

Los números racionales son "densos". Esto significa que entre dos de ellos cualesquiera siempre se puede encontrar otro.

Al tratarse de un libro de matemáticas populares, esto no pretende ser una definición formal de conjuntos densos, pero me hizo preguntarme si los subconjuntos densos de $\mathbb{R}$ podría definirse de esta manera. (Es claramente insuficiente por sí mismo, ya que el conjunto vacío sería denso).

Así que me pregunto, ¿hay una forma agradable de rellenar el siguiente enunciado?

$S \subset \mathbb{R}$ es denso si $(\forall x,y \in S, x < y)(\exists z \in S)(x < z < y)$ y ...

Answer 1

Parece que esta línea de definición deja abierta la posibilidad de "agujeros" en $S$ incluso si se añade la condición de que $S$ no tiene límites en ambas direcciones. Consideremos, por ejemplo, cualquier unión de Abrir intervalos. O la intersección del conjunto de racionales con dicha unión.

Answer 2

Una mejor definición de densidad sería que "entre dos puntos cualesquiera de la complemento hay un punto del conjunto". No te será difícil escribirlo formalmente con cuantificadores: $$ \forall x<y\in S^C\;\exists z\in S... $$

Answer 3

Hay otra definición, que es más general. Un subconjunto $F \subset E$ es denso en $E$ si el conjunto de todos los límites de las secuencias de elementos de $F$ es $E$ .

¿De dónde viene esto?

Una forma de responder a esta pregunta es desde el cierre de $F$ . El cierre de $F$ puede ser considerado como lo que llamé el conjunto de todos los límites de las secuencias de elementos de $F$ . Se define generalmente como el conjunto cerrado más pequeño que contiene $F$ . Concretamente Es lo que se puede alcanzar por los elementos de $F$ sin salir realmente "fuera" de $F$ . Lo que realmente importa aquí es que seas capaz de alcanzar los límites (como límites de algunas secuencias).

Sólo imagina el intervalo real $]0,1[$ (a menudo escrito $(0,1)$ en la literatura inglesa). Consideremos la secuencia $(a_n)_{n \geq 2}$ definido por $a_n = 1 - \frac{1}{n}$ . Para cualquier $n \geq 2$ , $a_n \in ]0,1[$ . Sin embargo, su límite es $1$ que no pertenece a $]0,1[$ . Aquí, 1 es un ejemplo de lo que quise decir con "se puede llegar a partir de elementos de $F$ " antes. Se puede adivinar que el cierre de $]0,1[$ es $[0,1]$ .

Así que aquí podemos decir, por ejemplo, que $]0,1[$ es denso en $[0,1]$ . Esta definición es válida en contextos mucho más generales que $\mathbb{R}$ pero esa es realmente una forma de ver de qué se trata.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Como muchos han comentado, la noción de $S$ ser denso por sí mismo (es decir, como un conjunto ordenado) es diferente de la noción de $S$ siendo un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ .

• Para la primera noción, la definición debe referirse únicamente al conjunto en sí: $(S, <)$ es denso si para cualquier $x,y \in S$ tal que $x<y$ existe un $z \in S$ tal que $x < z < y$ .
• Para esta última noción, la definición debe referirse al conjunto ambiental: $S \subset \mathbb{R}$ es denso si para cualquier $x, y \in \mathbb{R}$ tal que $x<y$ existe un $z \in S$ tal que $x < z < y$ .

Esta última noción está estrechamente relacionada con la primera en el caso de los números reales porque los intervalos abiertos $(x, y)$ forman una base para la topología habitual en $\mathbb{R}$ .